\n
Problema 2<\/strong><\/p>\n
\n
\n
<\/p>\n
\n
Chamaremos de [tex]a_{7}[\/tex] a solu\u00e7\u00e3o do problema para o tabuleiro [tex]2\\times7[\/tex] e faremos a discuss\u00e3o da solu\u00e7\u00e3o em duas etapas:Etapa 1:<\/strong> O primeiro domin\u00f3 est\u00e1 na vertical;Etapa 2:<\/strong> O primeiro domin\u00f3 est\u00e1 na horizontal.[tex]a_{7}[\/tex] ser\u00e1 a soma do n\u00famero de solu\u00e7\u00f5es com o primeiro domin\u00f3 na vertical e do n\u00famero de solu\u00e7\u00f5es com o primeiro domin\u00f3 na horizontal<\/span>.<\/p>\n\nPela restri\u00e7\u00e3o imposta no enunciado, se o primeiro domin\u00f3 estiver na vertical, nosso tabuleiro passa a ser um tabuleiro [tex]2\\times6[\/tex].\n
Assim, temos um \u201cnovo\u201d problema com as mesmas restri\u00e7\u00f5es do anterior, por\u00e9m com um tabuleiro cujo comprimento \u00e9 uma unidade menor. Chamaremos de [tex]a_{6}[\/tex] a solu\u00e7\u00e3o do problema para o tabuleiro [tex]2\\times 6[\/tex].<\/li>\n
De forma an\u00e1loga, se o primeiro domin\u00f3 estiver na horizontal (na verdade, obrigatoriamente teremos dois domin\u00f3s na horizontal), nosso tabuleiro passa a ser [tex]2\\times 5[\/tex].\n
Assim, tamb\u00e9m temos um \u201cnovo\u201d problema com as mesmas restri\u00e7\u00f5es do inicial, por\u00e9m com um tabuleiro cujo comprimento \u00e9 duas unidades menor. Tamb\u00e9m de forma an\u00e1loga, chamaremos de [tex]a_{5}[\/tex] a solu\u00e7\u00e3o do problema para o tabuleiro [tex]2\\times5[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n
Dessa estrat\u00e9gia de reduzir o problema a casos menores, resulta que: <\/p>\n
[tex]\\boxed{a_{7}=a_{6}+a_{5}}[\/tex]<\/p>\n
e, assim, a solu\u00e7\u00e3o do problema para um tabuleiro [tex]2\\times 7[\/tex] \u00e9 a soma das solu\u00e7\u00f5es de um tabuleiro [tex]2\\times 6[\/tex] com as solu\u00e7\u00f5es de um tabuleiro [tex]2\\times 5[\/tex].
[tex]\\boxed{a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}}.[\/tex]<\/p>\n
Essa rela\u00e7\u00e3o gen\u00e9rica nos mostra que o n\u00famero de solu\u00e7\u00f5es para um tabuleiro [tex]2\\times n[\/tex] \u00e9 a soma das solu\u00e7\u00f5es de um tabuleiro [tex]2\\times (n-1)[\/tex] com as solu\u00e7\u00f5es de um tabuleiro [tex]2\\times (n-2).[\/tex]
\nEm um tabuleiro [tex]2\\times 1[\/tex], s\u00f3 h\u00e1 uma solu\u00e7\u00e3o, portanto [tex]a_{1}=1[\/tex].<\/li>\n Em um tabuleiro [tex]2\\times 2[\/tex], teremos duas solu\u00e7\u00f5es (ou colocamos os domin\u00f3s na vertical ou os colocamos na horizontal), portanto [tex]a_{2}=2[\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\nAssim, ficamos com a seguinte rela\u00e7\u00e3o de recorr\u00eancia:<\/p>\n
[tex]\\begin{cases} a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},\\,\\, n\\ge3 \\\\ a_{1}=1 \\\\a_{2}=2 \\end{cases}[\/tex]<\/p>\n
Escrevendo a sequ\u00eancia definida por essa rela\u00e7\u00e3o de recorr\u00eancia encontramos a resposta: <\/p>\n
[tex]a_{1}=1[\/tex]
Portanto, podemos cobrir o tabuleiro [tex]2\\times 7[\/tex] de [tex]\\fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$21$}[\/tex] maneiras diferentes utilizando pe\u00e7as [tex]2\\times1[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n
Problema 3<\/strong><\/p>\nOBMEP<\/strong>) Abaixo temos tr\u00eas figuras pentagonais: a primeira com [tex]5[\/tex] pontos, a segunda com [tex]12[\/tex] pontos e a terceira com [tex]22[\/tex] pontos. Continuando esse processo de constru\u00e7\u00e3o, a vig\u00e9sima figura pentagonal ter\u00e1 [tex]651[\/tex] pontos. Quantos pontos ter\u00e1 a vig\u00e9sima primeira figura?<\/p>\n
a) 656
\n
\n
<\/p>\n
\nOs n\u00fameros de pontos de cada figura formam uma sequ\u00eancia chamada de “n\u00fameros pentagonais”.
\nDenotaremos por [tex]a_{1}[\/tex], [tex]a_{2}[\/tex] e [tex]a_{3}[\/tex] a quantidade de pontos da primeira, da segunda e da terceira figuras, respectivamente. Assim, [tex]a_{1}=5[\/tex], [tex]a_{2}=12[\/tex] e [tex]a_{3}=22[\/tex].
\nTamb\u00e9m denotaremos por [tex]a_{n}[\/tex] a quantidade de pontos da figura [tex]n[\/tex] e [tex]a_{n+1}[\/tex] a quantidade de pontos da figura [tex]n+1[\/tex].
\nObserve que, a partir da figura [tex]n[\/tex], [tex]n \\ge 1[\/tex], a figura [tex]n+1[\/tex] \u00e9 obtida acrescentando-se \u00e0 figura anterior [tex]4[\/tex] novos pontos (vermelhos) que ser\u00e3o os v\u00e9rtices e [tex]n[\/tex] novos pontos (azuis) em cada um dos tr\u00eas lados opostos ao v\u00e9rtice fixo, totalizando [tex]4+3n[\/tex] novos pontos. <\/p>\n
Portanto, [tex]a_{n+1}=a_{n}+4+3n[\/tex].
\n
\n
Problema 4<\/strong><\/p>\nOBMEP<\/strong>) F\u00e1bio gosta de brincar em escadas, subindo ou descendo seus degraus da seguinte maneira:Por exemplo, em uma escada com tr\u00eas degraus ele pode brincar de duas maneiras diferentes: [tex]\\boxed{1-2-3}[\/tex], [tex]\\boxed{1-3-2}[\/tex]; com quatro degraus ele pode brincar de quatro maneiras diferentes: [tex]\\boxed{1-2-3-4}[\/tex], [tex]\\boxed{1-2-4-3}[\/tex], [tex]\\boxed{1-3-2-4}[\/tex] e [tex]\\boxed{1-3-4-2}.[\/tex]<\/p>\n
a)<\/strong> F\u00e1bio pode brincar de seis maneiras diferentes em uma escada com cinco degraus. Descreva essas seis maneiras.<\/p>\nb)<\/strong> Explique por que sempre \u00e9 poss\u00edvel terminar a brincadeira no degrau de n\u00famero [tex]2[\/tex] em qualquer escada com dois ou mais degraus.<\/p>\nc)<\/strong> H\u00e1 [tex]31[\/tex] e [tex]68[\/tex] maneiras diferentes de se brincar em escadas com nove e onze degraus, respectivamente. De quantas maneiras diferentes F\u00e1bio pode brincar em uma escada com doze degraus?<\/p>\n\n
\n
<\/p>\n
\n
a)<\/strong>\t<\/p>\n\n[tex]1-2-3-4-5[\/tex]<\/li>\n [tex]1-2-3-5-4[\/tex]<\/li>\n [tex]1-2-4-3-5[\/tex]<\/li>\n [tex]1-2-4-5-3[\/tex]<\/li>\n [tex]1-3-2-4-5[\/tex]<\/li>\n [tex]1-3-5- 4-2[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n\n
b)<\/strong> Basta subir pelos degraus \u00edmpares at\u00e9 o mais alto deles e em seguida ir para o mais alto dos pares e descer pelos degraus pares.<\/p>\n\n
c)<\/strong> Vamos denotar por [tex]a_{n}[\/tex] a quantidade de maneiras diferentes que F\u00e1bio pode brincar em uma escada com [tex]n[\/tex] degraus, segundo as regras estabelecidas.\ndevido \u00e0s restri\u00e7\u00f5es do problema, podemos afirmar que [tex]a_{1}=1[\/tex] e [tex]a_{2}=1[\/tex];<\/li>\n pelo enunciado do problema, [tex]a_{3}=2[\/tex] e [tex]a_{4}=4[\/tex];<\/li>\n pelo item a, [tex]a_{5}=6[\/tex] e <\/li>\n pelo enunciado do item c, [tex]a_{9}=31[\/tex] e [tex]a_{11}=68[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\nDo mesmo modo como resolvemos alguns exerc\u00edcios anteriores, vamos dividir este problema em dois casos:Caso 1:<\/strong> F\u00e1bio fez os movimentos [tex]1-2[\/tex]Caso 2:<\/strong> F\u00e1bio fez os movimentos [tex]1-3[\/tex]\nF\u00e1bio pode subir os degraus \u00edmpares e voltar pelos pares, parando no degrau [tex]2[\/tex], dando uma poss\u00edvel solu\u00e7\u00e3o. (Essa foi a contribui\u00e7\u00e3o do item b.)<\/li>\n F\u00e1bio pode fazer [tex]1-3-2-4[\/tex], tornando o problema para nove degraus ([tex]a_{9}=31[\/tex]).<\/li>\n<\/ul>\nPortanto, [tex]a_{12}=a_{9}+a_{11}+1[\/tex], donde [tex] \\fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$a_{12}=100$}.[\/tex]<\/p>\n
\n
Observa\u00e7\u00e3o:<\/strong> Podemos generalizar e encontrar a recorr\u00eancia envolvida no problema: [tex]\\boxed{a_{n}=a_{n-3}+a_{n-1}+1}[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n
\n
Problema 5<\/strong><\/p>\n\n
\n
<\/p>\n
\n
Seja [tex]a_{10}[\/tex] a quantidade de sequ\u00eancias de [tex]10[\/tex] termos que possuem um n\u00famero \u00edmpar de termos iguais a [tex]0[\/tex]. Assim como fizemos em exerc\u00edcios anteriores, vamos abrir a solu\u00e7\u00e3o em dois casos:<\/p>\n
1\u00ba caso:<\/strong> O primeiro elemento \u00e9 igual a [tex]1[\/tex];2\u00ba caso:<\/strong> O primeiro elemento \u00e9 igual a [tex]0[\/tex].<\/ul>\n\n
\nSe o primeiro elemento for [tex]1[\/tex], o nosso problema passa para uma sequ\u00eancia com [tex]9[\/tex] termos na qual a quantidade de termos iguais a [tex]0[\/tex] deve ser \u00edmpar. Assim, a quantidade de sequ\u00eancias de [tex]10[\/tex] termos que come\u00e7am por [tex]1[\/tex] e possuem uma quantidade \u00edmpar de termos iguais a [tex]0[\/tex] \u00e9 [tex]a_{9}[\/tex].<\/li>\n No segundo caso, se o primeiro elemento for [tex]0[\/tex], a sequ\u00eancia passa a ser uma sequ\u00eancia de [tex]9[\/tex] termos na qual a quantidade de termos iguais a [tex]0[\/tex] deve ser par. Para descobrirmos o n\u00famero total de sequ\u00eancias de [tex]9[\/tex] termos com uma quantidade par de termos iguais a [tex]0[\/tex], basta fazer o n\u00famero total de sequ\u00eancias menos o n\u00famero de sequ\u00eancias com a quantidade \u00edmpar de zeros. Pelo princ\u00edpio multiplicativo, o n\u00famero total de sequ\u00eancias \u00e9 [tex]2^{9}[\/tex] e o n\u00famero de sequ\u00eancias com quantidade \u00edmpar de termos [tex]0[\/tex] \u00e9 [tex]a_{9}[\/tex] (como visto no primeiro caso).<\/li>\nPortanto,
\n
Observa\u00e7\u00e3o:<\/strong> Podemos generalizar essa solu\u00e7\u00e3o e concluir que [tex]a_{n}=2^{n-1}[\/tex], sendo [tex]a_{n}[\/tex] a quantidade de sequ\u00eancias com [tex]n[\/tex] termos que possui uma quantidade \u00edmpar de termos iguais a [tex]0[\/tex].\n
\n\n\n
\nAgora \u00e9 com voc\u00eas…Bom trabalho, pessoal!<\/strong> <\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n
Problema proposto 1<\/strong><\/p>\nSeja [tex]S_{n}[\/tex] a soma dos \u00e2ngulos internos de um pol\u00edgono convexo de [tex]n[\/tex] lados. <\/p>\n
\n
a)<\/strong> Determine, em fun\u00e7\u00e3o de [tex]S_{n}[\/tex], a soma dos \u00e2ngulos internos de um pol\u00edgono convexo de [tex]n+1[\/tex] lados [tex](S_{n+1});[\/tex]<\/p>\n\n
b)<\/strong> Sabendo que a soma dos \u00e2ngulos internos de um pol\u00edgono convexo com [tex]19[\/tex] lados vale [tex]3060^{\\circ}[\/tex], calcule a soma dos \u00e2ngulos internos para um pol\u00edgono convexo de [tex]20[\/tex] lados.<\/p>\n\n
\n
<\/p>\n
\n
a)<\/strong> [tex]S_{n+1}=S_{n}+180^{\\circ}.[\/tex]<\/p>\n\n
b)<\/strong> [tex]S_{20}=S_{19}+180^{\\circ}\\\\\n
\n
Problema proposto 2<\/strong><\/p>\nO pr\u00f3ximo problema \u00e9 conhecido como \u201cA PIZZA DE STEINER\u201d, em homenagem ao matem\u00e1tico su\u00ed\u00e7o Jakob Steine<\/em>r<\/strong> (1796-1863). <\/p>\n\n
a)<\/strong> Qual \u00e9 o n\u00famero m\u00e1ximo de peda\u00e7os em que uma pizza pode ser dividida por [tex]8[\/tex] cortes retil\u00edneos?<\/p>\n\n
b)<\/strong> Sendo [tex]a_{n}[\/tex] o n\u00famero m\u00e1ximo de regi\u00f5es nas quais [tex]n[\/tex] cortes retil\u00edneos podem dividir uma pizza, encontre uma rela\u00e7\u00e3o de recorr\u00eancia que expresse [tex]a_{n}[\/tex] em fun\u00e7\u00e3o de [tex]a_{n-1}[\/tex].<\/p>\n\n
\n
<\/p>\n
\n
a)<\/strong> [tex]a_{8}= 37[\/tex].<\/p>\n\n
b)<\/strong> [tex]a_{n}=a_{n-1}+n[\/tex], [tex]n \\ge 2[\/tex]. <\/p>\n\n\n\n \nEste v\u00eddeo pode lhe ajudar…<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\n
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<\/p>\n