{"id":12293,"date":"2014-01-16T00:35:44","date_gmt":"2014-01-16T02:35:44","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=12293"},"modified":"2022-11-20T04:08:49","modified_gmt":"2022-11-20T07:08:49","slug":"texto_004-relacoes-de-girard","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/texto_004-relacoes-de-girard\/","title":{"rendered":".Texto_004: Rela\u00e7\u00f5es de Girard"},"content":{"rendered":"\n\n
\n

Meu professor apresentou dois n\u00fameros e pediu para que eu determinasse uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau que tivesse os dois n\u00fameros como ra\u00edzes…
\nAcho que ele se enganou, pois a partir de uma equa\u00e7\u00e3o encontramos suas ra\u00edzes e n\u00e3o o contr\u00e1rio disso…<\/span><\/p>\n<\/td>\n

\n\"Probleminha2\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\"explicador_p\"<\/td>\n\n

N\u00c3O!!!
\nO seu professor n\u00e3o se enganou.
\nLeia o texto abaixo e verifique que o que ele solicitou \u00e9 perfeitamente poss\u00edvel.<\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

Rela\u00e7\u00f5es de Girard para equa\u00e7\u00f5es do segundo grau<\/p>\n

J\u00e1 sabemos que uma “equa\u00e7\u00e3o do segundo grau na vari\u00e1vel<\/em> [tex]x[\/tex] e com coeficientes reais”<\/strong> \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o da forma
\n[tex]\\qquad\\qquad ax^2+bx+c=0[\/tex],
\nonde [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais, com [tex]a\\ne 0[\/tex], ditos coeficientes da equa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n

• <\/span>[tex]a[\/tex] \u00e9 dito o coeficiente de [tex]x^2[\/tex];
\n• <\/span>[tex]b[\/tex] \u00e9 dito o coeficiente de [tex]x[\/tex];
\n• <\/span>[tex]c[\/tex] \u00e9 dito o coeficiente independente.<\/p>\n

O que discutiremos aqui \u00e9 que existem rela\u00e7\u00f5es entre os coeficientes de uma equa\u00e7\u00e3o desse tipo e suas ra\u00edzes. Essas rela\u00e7\u00f5es foram descobertas pelo matem\u00e1tico Albert Girard<\/strong> (voc\u00ea pode encontrar a biografia desse matem\u00e1tico em Nossa Biblioteca<\/strong><\/span><\/a>) e, portanto, s\u00e3o conhecidas como rela\u00e7\u00f5es de Girard<\/strong>.
\n(i)<\/strong> Uma das rela\u00e7\u00f5es de Girard afirma que a soma das ra\u00edzes de uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau \u00e9 igual \u00e0 raz\u00e3o entre o oposto do coeficiente de [tex]x[\/tex] e o coeficiente de [tex]x^2[\/tex], ou seja, a soma das ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex] \u00e9 dada por [tex]\\dfrac{-b}{a}[\/tex].<\/p>\n

Veja uma maneira de demonstrar essa propriedade.
\nPela f\u00f3rmula resolutiva de equa\u00e7\u00f5es do segundo grau, tem-se que as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex] \\, \\, ax^2+bx+c = 0 \\, \\, [\/tex] s\u00e3o dadas por
\n[tex]\\qquad \\qquad x_1 = \\dfrac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2a} \\, \\, \\, [\/tex] e [tex] \\, \\, \\, x_2 = \\dfrac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2a}[\/tex], com [tex]\\Delta =b^2-4ac[\/tex].
\nEnt\u00e3o, a soma das ra\u00edzes \u00e9 igual a:
\n[tex]\\qquad \\qquad x_1+x_2=\\dfrac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2a}+\\dfrac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2a}=\\dfrac{-b-b+\\sqrt{\\Delta}-\\sqrt{\\Delta}}{2a}=\\\\
\n\\qquad \\qquad \\quad\\quad\\qquad =\\dfrac{-2b}{2a}=\\dfrac{-b}{a}.[\/tex]
\nAssim, de fato,
\n[tex]\\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{#FFE4C4}{$ \\, x_1+x_2=\\dfrac{-b}{a} \\, $}[\/tex] .    (I)<\/strong><\/div>\n

\n

(ii)<\/strong> Uma outra rela\u00e7\u00e3o de Girard afirma que o produto das ra\u00edzes de uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau \u00e9 igual \u00e0 raz\u00e3o entre o seu termo independente [tex]c[\/tex] e o seu coeficiente de [tex]x^2[\/tex], o que implica dizer que o produto das ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex] \u00e9 dado por [tex]\\dfrac{c}{a}[\/tex].<\/p>\n

\n

Vejamos como demonstrar essa segunda propriedade.
\nSendo
\n[tex]\\qquad \\qquad x_1 = \\dfrac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2a}\\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad x_2 = \\dfrac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2a}\\qquad [\/tex]
\nas ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex], o produto dessas ra\u00edzes ser\u00e1 dado por:
\n[tex]\\qquad \\begin{align*}x_1\\cdot x_2 &= \\left(\\dfrac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2a}\\right)\\cdot \\left(\\dfrac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2a}\\right)\\\\
\n&=\\dfrac{(-b)^2+b\\sqrt{\\Delta}-b\\sqrt{\\Delta}-\\Delta}{4a^2} \\\\
\n&= \\dfrac{b^2-\\Delta}{4a^2} = \\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} \\\\
\n&= \\dfrac{4ac}{4a^2} = \\dfrac{c}{a}\\,.
\n\\end{align*}[\/tex]
\nLogo, necessariamente,
\n[tex]\\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{#FFE4C4}{$ \\, x_1\\cdot x_2 = \\dfrac{c}{a} \\, $}[\/tex] .    (II)<\/strong><\/div>\n

\n

Se voc\u00ea j\u00e1 estudou n\u00fameros complexos, perceba que n\u00e3o consideramos as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o sendo n\u00fameros reais. Assim as rela\u00e7\u00f5es (I)<\/strong> e (II)<\/strong> s\u00e3o v\u00e1lidas mesmo que as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o do segundo grau sejam n\u00e3o reais.<\/p>\n

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\n

\nAplica\u00e7\u00e3o:<\/strong> Para determinarmos a soma e o produto das ra\u00edzes de uma equa\u00e7\u00e3o de segundo grau, n\u00e3o \u00e9 necess\u00e1rio resolv\u00ea-la.
\nIlustraremos esse resultado com alguns exemplos.<\/p>\n

\nExemplo 1:<\/strong> Quais s\u00e3o os valores da soma e do produto das ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]2x^2+7x+6 = 0 \\, [\/tex]?
\nSolu\u00e7\u00e3o:<\/strong> Chamemos de [tex] \\, S \\, [\/tex] a soma e [tex] \\, P \\, [\/tex] o produto, ent\u00e3o temos [tex] \\, \\, S = \\dfrac{-b}{a} = \\dfrac{-7}{2} \\, \\, [\/tex] e [tex] \\, \\, P = \\dfrac{c}{a} = \\dfrac{6}{2} = 3 \\, \\, [\/tex].<\/p>\n

\nExemplo 2:<\/strong> Quais s\u00e3o os valores da soma e do produto das ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2+4x-9 = 0 \\, [\/tex].
\nSolu\u00e7\u00e3o:<\/strong> Sendo [tex] \\, S \\, [\/tex] a soma e [tex] \\, P \\, [\/tex] o produto, ent\u00e3o temos [tex] \\, \\, S = \\dfrac{-b}{a} = \\dfrac{-4}{1} = -4 \\, \\, [\/tex] e [tex] \\, \\, P = \\dfrac{c}{a} = \\dfrac{-9}{1} = -9 \\, \\, [\/tex].<\/p>\n

\nExemplo 3:<\/strong> Quais s\u00e3o os valores da soma e do produto das ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]2x^2+5x = 0 \\, [\/tex].
\nSolu\u00e7\u00e3o:<\/strong> Temos a soma dada por [tex] \\, \\, S = \\dfrac{-b}{a} = \\dfrac{-5}{2} \\, \\, [\/tex] e o produto por [tex] \\, \\, P = \\dfrac{c}{a} = \\dfrac{0}{2} = 0 \\, \\, [\/tex].
\nNeste exemplo, o valor do produto das ra\u00edzes \u00e9 igual a [tex]0[\/tex] e isso ocorre pelo fato da equa\u00e7\u00e3o em quest\u00e3o ter uma raiz com valor [tex]0[\/tex].<\/p>\n

\n

\nObserva\u00e7\u00e3o importante:<\/strong> Veja que, no Exemplo 2<\/strong>, a soma das ra\u00edzes \u00e9 igual ao coeficiente de [tex]x[\/tex] com o sinal trocado e o produto \u00e9 igual ao coeficiente independente.
\nIsso acontece com todas as equa\u00e7\u00f5es do segundo grau cujo coeficiente de [tex]x^2[\/tex] \u00e9 igual a [tex]1[\/tex].<\/p>\n

\n

\nAplica\u00e7\u00e3o:<\/strong> Al\u00e9m do que foi visto, podemos obter uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau que possua ra\u00edzes cuja soma e cujo produto sejam dois n\u00fameros [tex] \\, S \\, [\/tex] e [tex] \\, P[\/tex], previamente escolhidos. Para isto basta tomarmos a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2-Sx+P=0[\/tex], pois teremos como soma das ra\u00edzes [tex]\\dfrac{-(-S)}{1}=S[\/tex] e como produto das ra\u00edzes [tex]\\dfrac{P}{1}=P[\/tex].
\nVeja, a seguir, um exemplo.<\/p>\n

\nExemplo 4:<\/strong>
\nEncontre uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau que possua [tex]-3[\/tex] e [tex]2[\/tex] como suas ra\u00edzes.
\nSolu\u00e7\u00e3o:<\/strong> Bem, a soma dessas ra\u00edzes \u00e9 [tex]S = -3+2 = -1[\/tex] e o produto \u00e9 [tex]P = (-3)\\cdot 2 = -6[\/tex]; ent\u00e3o, como foi visto, a equa\u00e7\u00e3o pode ser da forma [tex]x^2-Sx+P = 0[\/tex], ou seja, uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau que possui como ra\u00edzes os n\u00fameros [tex] \\, -3 \\, [\/tex] e [tex] \\, 2 \\, [\/tex] \u00e9 a equa\u00e7\u00e3o [tex] \\, x^2+x-6 = 0 \\, [\/tex].<\/p>\n

\n

\n\"explicador_p\"Para pensar…<\/strong>
\nUm problema como o do Exemplo 4 sempre tem solu\u00e7\u00e3o?
\nEm caso positivo, como no nosso exemplo, a equa\u00e7\u00e3o obtida \u00e9 \u00fanica?
\n\"Desafio2\"<\/p>\n

\n
\n

Francimar de Brito Vieira<\/strong>
\nEquipe COM – OBMEP<\/span><\/p>\n<\/div>\n\n\n
\"explicador_p\"<\/td>\n\n

\nEsperamos que voc\u00ea tire proveito da explana\u00e7\u00e3o feita aqui.
\nNosso objetivo \u00e9 tentar sempre facilitar o seu entendimento sobre assuntos importantes da Matem\u00e1tica.
\nContinue pesquisando sobre o assunto, afinal conhecimento nunca \u00e9 demais!<\/strong><\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Meu professor apresentou dois n\u00fameros e pediu para que eu determinasse uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau que tivesse os dois n\u00fameros como ra\u00edzes… Acho que ele se enganou, pois a partir de uma equa\u00e7\u00e3o encontramos suas ra\u00edzes e n\u00e3o o contr\u00e1rio disso… N\u00c3O!!! O seu professor n\u00e3o se enganou. Leia o texto abaixo e verifique … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":254,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-12293","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/12293","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/254"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=12293"}],"version-history":[{"count":193,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/12293\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":85739,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/12293\/revisions\/85739"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=12293"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}