{"id":121878,"date":"2019-03-07T14:18:49","date_gmt":"2019-03-07T17:18:49","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=121878"},"modified":"2024-06-08T23:46:24","modified_gmt":"2024-06-09T02:46:24","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-quadrado-circunferencia-quadrado","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-quadrado-circunferencia-quadrado\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Quadrado, circunfer\u00eancia, quadrado"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nNa figura, vemos um quadrado inscrito em uma circunfer\u00eancia que, por sua vez, est\u00e1 inscrita em um outro quadrado.
\nCada lado do quadrado externo mede [tex]4 \\, cm[\/tex]. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Qual a \u00e1rea em [tex]cm^2[\/tex] da regi\u00e3o colorida de amarelo?<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n

\nObservando a figura do problema, vemos que a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida de amarelo pode ser calculada fazendo a diferen\u00e7a entre a \u00e1rea do c\u00edrculo e a \u00e1rea do quadrado interno:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{A_{am}=A_{circ}-A_{qi}}. \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)} [\/tex]
\nPara calcularmos essas duas \u00e1reas que definem a \u00e1rea solicitada no problema, precisaremos do raio do c\u00edrculo e do lado do quadrado interno que aparecem na figura.
\nNote que, como cada lado do quadrado externo mede [tex]4 \\, cm[\/tex] e a circunfer\u00eancia que define o c\u00edrculo est\u00e1 inscrita nesse quadrado, o raio do c\u00edrculo \u00e9 [tex]2 \\, cm.[\/tex] Assim, a \u00e1rea do c\u00edrculo \u00e9:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{A_{circ}=4\\pi \\, cm^2}. \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)} [\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Para calcularmos o comprimento [tex]l[\/tex] do lado do quadrado interno, vamos ter um pouquinho mais de trabalho. Perceba, inicialmente, que o interior desse quadrado pode ser decomposto em quatro tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos is\u00f3sceles cujos lados congruentes medem [tex]2 \\, cm[\/tex], j\u00e1 que estes lados s\u00e3o raios do c\u00edrculo da figura. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Aplicando o Teorema de Pit\u00e1goras a um desses tri\u00e2ngulos, obtemos que:
\n[tex]\\qquad l^2=2^2+2^2\\\\
\n\\qquad l^2=8 \\\\
\n\\qquad l=\\pm \\sqrt{8}\\\\
\n\\qquad l=\\pm 2\\sqrt{2}[\/tex]
\n[tex] \\qquad l=2\\sqrt{2} \\, cm[\/tex], j\u00e1 que [tex] l \\gt 0[\/tex] por ser um comprimento.
\nLogo, a \u00e1rea do quadrado interno \u00e9:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{A_{qi}=8 \\, cm^2}. \\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)} [\/tex]<\/p>\n

\n

Finalizando, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} [\/tex], [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)} [\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)} [\/tex], segue que:
\n[tex] \\qquad A_{am}=A_{circ}-A_{qi}=\\left(4\\pi-8\\right) \\, cm^2.[\/tex]
\nPortanto, a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida de amarelo \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\left(4\\pi-8\\right) \\, cm^2$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n

\nA figura do problema nos sugere que a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida de amarelo pode ser calculada fazendo a diferen\u00e7a entre a \u00e1rea do c\u00edrculo e a \u00e1rea do quadrado interno, conforme denotamos a seguir:
\n[tex]\\qquad \\qquad A_{am}=A_{circ}-A_{qi}.[\/tex]
\nAssim, se [tex]l[\/tex] e [tex]R[\/tex] s\u00e3o os comprimentos em cent\u00edmetros dos lados do quadrado interno e do raio, respectivamente, segue que
\n [tex]\\qquad \\qquad \\boxed{A_{am} = \\pi R^2 – l^2}. \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)} [\/tex]<\/p>\n


\n\"\"<\/p>\n

Mas sabemos que o raio da circunfer\u00eancia \u00e9 [tex]2\\,cm[\/tex], logo a diagonal do quadrado mede [tex]4\\,cm[\/tex]; portanto, utilizando o Teorema de Pit\u00e1goras, temos que:
\n [tex]\\qquad \\qquad l^2 + l^2 = d^2\\\\
\n\\qquad \\qquad 2l^2 = 4^2 \\\\
\n \\qquad \\qquad \\boxed{l^2 = 8\\ cm^2} \\, .[\/tex] <\/p>\n

Logo, segue de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} [\/tex] que
\n[tex] \\qquad \\qquad A_{am} = \\pi \\cdot 2^2 – 8 \\\\
\n \\qquad \\qquad A_{am} = 4\\pi – 8[\/tex]
\ne, assim, a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida de amarelo \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\left(4\\pi-8\\right) \\, cm^2$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 3 <\/p>\n

\nSe o quadrado externo tem 4 cm de cada lado, a circunfer\u00eancia inscrita nele ter\u00e1 4 cm de di\u00e2metro. Consequentemente, o raio da circunfer\u00eancia ter\u00e1 2 cm. Usando a f\u00f3rmula a=\u03c0.r\u00b2 para calcular a \u00e1rea do c\u00edrculo, temos que:
\na=3,14.2\u00b2
\na=3,14.4
\na=12,56
\nA \u00e1rea da circunfer\u00eancia ser\u00e1 aproximadamente 12,56 cm\u00b2.
\nComo a diagonal do quadrado inteiro \u00e9 um di\u00e2metro da circunfer\u00eancia, o comprimento da diagonal do quadrado interno \u00e9 4 cm. Dividindo o quadrado interno em 2 partes, a partir da diagonal, teremos 2 tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos. Usando o Teorema de Pit\u00e1goras:
\nd\u00b2=l\u00b2+l\u00b2
\nd\u00b2=2l\u00b2
\nl\u00b2=d\u00b2\/2
\nl\u00b2=4\u00b2\/2
\nl\u00b2=16\/2
\nl\u00b2=8
\nl=\u221a8
\nl=\u221a2\u00b3
\nl=2\u221a2
\nDescobrimos ent\u00e3o que o lado do quadrado interno \u00e9 2\u221a2. Como a \u00e1rea do quadrado \u00e9 l*l, a \u00e1rea do quadrado ser\u00e1 2\u221a2*2\u221a2=8 cm\u00b2. Agora basta subtrair esse valor da \u00e1rea do c\u00edrculo, para saber a \u00e1rea colorida de amarelo: 12,56-8,00=4,56.
\nResposta:<\/strong> A \u00e1rea colorida de amarelo na figura ser\u00e1 de 4,56 cm\u00b2, aproximadamente.<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM OCTETO MATEM\u00c1TICO<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\nParticipou da discuss\u00e3o o Clube OCTETO MATEM\u00c1TICO<\/strong>.<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) Na figura, vemos um quadrado inscrito em uma circunfer\u00eancia que, por sua vez, est\u00e1 inscrita em um outro quadrado. Cada lado do quadrado externo mede [tex]4 \\, cm[\/tex]. Qual a \u00e1rea em [tex]cm^2[\/tex] … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-121878","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/121878","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=121878"}],"version-history":[{"count":25,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/121878\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220075,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/121878\/revisions\/220075"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=121878"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}