{"id":121756,"date":"2019-03-07T14:49:03","date_gmt":"2019-03-07T17:49:03","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=121756"},"modified":"2024-06-08T23:57:05","modified_gmt":"2024-06-09T02:57:05","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-qual-e-o-produto-2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-qual-e-o-produto-2\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Qual \u00e9 o produto? (2)"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nO n\u00famero [tex]M[\/tex], apresentado a seguir, \u00e9 um produto de vinte n\u00fameros:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\qquad M= \\left(1+\\dfrac{3}{1} \\right)\\cdot \\left(1+\\dfrac{5}{4} \\right)\\cdot \\left(1+\\dfrac{7}{9} \\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{9}{16} \\right)\\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot \\left(1+\\dfrac{41}{400} \\right).[\/tex]<\/p>\n

Encontre o valor de [tex]M[\/tex].<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nEfetuando a soma de cada par\u00eantesis da express\u00e3o que define o n\u00famero [tex]M[\/tex] obtemos:
\n[tex]\\quad M= \\left(1+\\dfrac{3}{1} \\right)\\cdot \\left(1+\\dfrac{5}{4} \\right)\\cdot \\left(1+\\dfrac{7}{9} \\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{9}{16} \\right)\\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot \\left(1+\\dfrac{41}{400} \\right)\\\\
\n\\quad M= \\left(\\dfrac{4}{1} \\right)\\cdot \\left(\\dfrac{9}{4} \\right)\\cdot \\left(\\dfrac{16}{9} \\right) \\cdot \\left(\\dfrac{25}{16} \\right)\\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot \\left(\\dfrac{441}{400} \\right)\\\\
\n\\quad M= \\left(\\dfrac{\\textcolor{red}{\\cancel{4}}}{1} \\right)\\cdot \\left(\\dfrac{\\textcolor{blue}{\\cancel{9}}}{\\textcolor{red}{\\cancel{4}}} \\right)\\cdot \\left(\\dfrac{\\textcolor{green}{\\cancel{16}} }{\\textcolor{blue}{\\cancel{9}}} \\right) \\cdot \\left(\\dfrac{\\textcolor{#FF00FF}{\\cancel{25}}}{\\textcolor{green}{\\cancel{16}}} \\right)\\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot \\left(\\dfrac{441}{\\textcolor{#B041FF}{\\cancel{400}}} \\right)\\\\
\n\\quad M= \\left(\\dfrac{1}{\\boxed{1}} \\right)\\cdot \\left(\\dfrac{\\boxed{441}}{1} \\right)\\\\
\n\\quad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ M=441$}[\/tex] .
\nSe voc\u00ea avalia que os cancelamentos efetuados carecem de mais consist\u00eancia, observe que, efetuando o produto gen\u00e9rico de dois fatores consecutivos da express\u00e3o que define [tex]M[\/tex], obtemos:
\n[tex] \\;\\begin{align*}\\left(1+\\dfrac{2n+1}{n^2} \\right)\\cdot \\left(1+\\dfrac{2(n+1)+1}{(n+1)^2} \\right)&= \\left(1+\\dfrac{2n+1}{n^2} \\right)\\cdot \\left(1+\\dfrac{2n+3}{(n+1)^2} \\right)\\\\
\n&= \\left(\\dfrac{n^2+2n+1}{n^2} \\right)\\cdot \\left(\\dfrac{(n+1)^2+2n+3}{(n+1)^2} \\right)\\\\
\n&= \\left(\\dfrac{(n+1)^2}{n^2} \\right)\\cdot \\left(\\dfrac{n^2+2n+1+2n+3}{(n+1)^2} \\right)\\\\
\n&= \\left(\\dfrac{(n+1)^2}{n^2} \\right)\\cdot \\left(\\dfrac{n^2+4n+4}{(n+1)^2} \\right)\\\\
\n&= \\left(\\dfrac{(n+1)^2}{n^2} \\right)\\cdot \\left(\\dfrac{(n+2)^2}{(n+1)^2} \\right)\\\\
\n&= \\left(\\dfrac{\\textcolor{red}{\\cancel{(n+1)^2}}}{n^2} \\right)\\cdot \\left(\\dfrac{(n+2)^2}{\\textcolor{red}{\\cancel{(n+1)^2}}} \\right).
\n\\end{align*}[\/tex]
\nNote que o cancelamento entre o numerador de um fator e o denominador do fator sucessivo \u00e9, de fato, gen\u00e9rico. Portanto, no produto que define [tex]M[\/tex], depois das simplifica\u00e7\u00f5es, s\u00f3 sobrar\u00e1 o produto entre o denominador do primeiro fator e o numerador do segundo.<\/p>\n
\n

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\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\nParticipou da discuss\u00e3o o Clube OCTETO MATEM\u00c1TICO<\/strong>.<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) O n\u00famero [tex]M[\/tex], apresentado a seguir, \u00e9 um produto de vinte n\u00fameros: [tex]\\qquad \\qquad M= \\left(1+\\dfrac{3}{1} \\right)\\cdot \\left(1+\\dfrac{5}{4} \\right)\\cdot \\left(1+\\dfrac{7}{9} \\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{9}{16} \\right)\\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot \\left(1+\\dfrac{41}{400} \\right).[\/tex] Encontre o valor … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-121756","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/121756","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=121756"}],"version-history":[{"count":65,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/121756\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220087,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/121756\/revisions\/220087"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=121756"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}