{"id":121741,"date":"2019-03-07T14:28:19","date_gmt":"2019-03-07T17:28:19","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=121741"},"modified":"2024-06-08T23:49:52","modified_gmt":"2024-06-09T02:49:52","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-um-multiplo-de-99","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-multiplo-de-99\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Um m\u00faltiplo de 99"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nSejam [tex] \\, x \\, [\/tex] e [tex] \\, y \\, [\/tex] algarismos tais que [tex] \\, n=35218xy \\, [\/tex] \u00e9 um n\u00famero divis\u00edvel por [tex]99[\/tex].
\nDetermine [tex]n[\/tex].
\n (Aqui, a nota\u00e7\u00e3o [tex]35218xy[\/tex] n\u00e3o indica um produto e sim a representa\u00e7\u00e3o de um n\u00famero de sete algarismos no sistema decimal.)<\/span><\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Lembretes <\/p>\n

\n

Crit\u00e9rio de divisibilidade por [tex]9[\/tex]<\/strong>: Para um n\u00famero natural [tex]z[\/tex] ser divis\u00edvel por [tex]9[\/tex], \u00e9 necess\u00e1rio e suficiente que a soma de seus algarismos seja divis\u00edvel por [tex]9[\/tex].
\nCrit\u00e9rio de divisibilidade por [tex]11[\/tex]<\/strong>: Para um n\u00famero natural [tex]z[\/tex] ser divis\u00edvel por [tex]11[\/tex], \u00e9 necess\u00e1rio e suficiente que a diferen\u00e7a entre a soma dos algarismos de ordem \u00edmpar e a soma dos algarismos de ordem par seja um n\u00famero divis\u00edvel por [tex]11[\/tex].<\/p>\n\n\n
\"explicador_p\"<\/td>\n\n

Para rever esses e outros crit\u00e9rios de divisibilidade, clique AQUI<\/strong><\/a>.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n

\nPara que o n\u00famero [tex] \\, n=35218xy \\, [\/tex] seja divis\u00edvel por [tex]99[\/tex], [tex]n[\/tex] deve ser divis\u00edvel simultaneamente por [tex]9[\/tex] e por [tex]11.[\/tex]<\/p>\n

➤<\/span> Por um dos Lembretes<\/strong>, o n\u00famero [tex] \\, n=35218xy \\, [\/tex] ser\u00e1 divis\u00edvel por [tex]9[\/tex] se [tex]3+5+2+1+8+x+y=\\boxed{19+x+y}[\/tex] for divis\u00edvel por [tex]9.[\/tex] Mas [tex]19+x+y=18+\\left(x+y+1\\right)[\/tex] e [tex]18[\/tex] j\u00e1 \u00e9 divis\u00edvel por [tex]9[\/tex]; assim, basta que [tex]x+y+1[\/tex] seja divis\u00edvel por [tex]9[\/tex] para que [tex]19+x+y[\/tex] tamb\u00e9m o seja.
\nPor outro lado, observe que [tex] \\, x \\, [\/tex] e [tex] \\, y \\, [\/tex] s\u00e3o algarismos; assim, [tex]0 \\leqslant x \\leqslant 9[\/tex] e [tex]0 \\leqslant y \\leqslant 9[\/tex], donde [tex]0 \\leqslant x+y \\leqslant 18[\/tex] e, consequentemente, [tex]1 \\leqslant x+y +1\\leqslant 19.[\/tex]
\nAssim, precisamos que [tex]x+y+1[\/tex] seja divis\u00edvel por [tex]9[\/tex], mas [tex]1 \\leqslant x+y +1\\leqslant 19[\/tex]. Bom, agora ficou mais f\u00e1cil pois, entre os n\u00fameros naturais de [tex]1 [\/tex] a [tex]19[\/tex], s\u00f3 temos dois m\u00faltiplos de [tex]9[\/tex]: [tex]9[\/tex] e [tex]18[\/tex]. Com isso, [tex]x+y+1=9[\/tex] ou [tex]x+y+1=18[\/tex], donde,
\n[tex]\\qquad \\qquad x+y=8 \\qquad [\/tex] ou [tex]\\qquad x+y=17. \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\n ➤<\/span> Utilizando o outro Lembrete<\/strong>, vemos que o n\u00famero [tex] \\, n=35218xy \\, [\/tex] ser\u00e1 divis\u00edvel por [tex]11[\/tex] se [tex](y+8+2+3)-(x+1+5)=\\boxed{y-x+7}[\/tex] for divis\u00edvel por [tex]11.[\/tex]
\nMas [tex] \\, x \\, [\/tex] e [tex] \\, y \\, [\/tex] s\u00e3o algarismos; assim, [tex]0 \\leqslant x \\leqslant 9[\/tex] e [tex]0 \\leqslant y \\leqslant 9[\/tex], donde [tex]-9 \\leqslant -x \\leqslant 0[\/tex] e [tex]0 \\leqslant y \\leqslant 9.[\/tex] Dessa forma, [tex]-9 \\leqslant y-x \\leqslant 9[\/tex], ou seja, [tex]-2 \\leqslant y-x+7 \\leqslant 16.[\/tex]
\nNote que os \u00fanicos m\u00faltiplos de [tex]11[\/tex] de [tex]-2 [\/tex] a [tex]16 [\/tex] s\u00e3o [tex]0=0\\times 11[\/tex] e [tex]11=1\\times 11[\/tex] e, com isso, [tex]y-x+7=0[\/tex] ou [tex]y-x+7=11[\/tex], donde,
\n[tex]\\qquad \\qquad y-x=-7 \\qquad [\/tex] ou [tex]\\qquad y-x=4. \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/p>\n

Por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], poder\u00edamos ter [tex]x+y=17 [\/tex]; mas essa soma ocorre apenas se um dos algarismos for o [tex]8[\/tex] e o outro for o [tex]9[\/tex] e para esses valores as igualdades obtidas em [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o satisfeitas.
\nDessa forma, considerando [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] ficamos com apenas duas possibilidades: <\/p>\n

\t"[tex] x+y=8 \\, [\/tex] e [tex] \\, y-x=-7[\/tex]"
\nou
\n "[tex]x+y=8 \\, [\/tex] e [tex] \\, y-x=4[\/tex]".<\/p>\n

Somando as duas primeiras equa\u00e7\u00f5es, obtemos [tex] 2y=1[\/tex], o que n\u00e3o pode ocorrer j\u00e1 que [tex]y[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural.
\nPortanto, sobra-nos apenas a segunda possibilidade.
\nSomando as equa\u00e7\u00f5es [tex]x+y=8 \\, [\/tex] e [tex] \\, y-x=4[\/tex], obtemos [tex]2y=12 [\/tex], donde temos que [tex]y=6 [\/tex]. Substituindo esse valor em qualquer uma das duas equa\u00e7\u00f5es, obtemos que [tex]x=2.[\/tex]
\nCom isso, temos que o \u00fanico n\u00famero da forma [tex] \\, n=35218xy \\, [\/tex] divis\u00edvel por [tex]99[\/tex] \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=3521826$} \\, .[\/tex] <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n

\nUma solu\u00e7\u00e3o bem r\u00e1pida, mas que depende mais de uma “sacada” do que de conhecimento propriamente dito, \u00e9 observar que [tex]35218xy=3521800+xy[\/tex], ou seja, [tex]xy[\/tex] \u00e9 o n\u00famero de dois algarismos que devemos somar a [tex]3521800[\/tex] para obter um m\u00faltiplo de [tex]99[\/tex].
\nObservemos, o resto da divis\u00e3o de [tex]3521800 \\, [\/tex] por [tex]99.[\/tex]<\/p>\n

\n [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\n3521800 \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\,\\, 99 \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\n\\qquad \\, 73
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\, \\,\\,\\, 35573
\n\\end{array}[\/tex]\n<\/p>\n

Note que [tex]3521800 \\, [\/tex] n\u00e3o \u00e9 divis\u00edvel por [tex]99[\/tex] porque sobram [tex]73[\/tex] unidades de resto. Ent\u00e3o, se somarmos [tex]99-73=26[\/tex] ao n\u00famero [tex]3521800[\/tex], obteremos um n\u00famero divis\u00edvel por [tex]99.[\/tex]
\nAssim [tex]3521800+26=\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=3521826$} \\, [\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]99[\/tex].
\nO pr\u00f3ximo m\u00faltiplo de [tex]99[\/tex] ser\u00e1 [tex]3521826+99=3521925[\/tex] que j\u00e1 n\u00e3o ser\u00e1 da forma [tex]35218xy.[\/tex]
\nO m\u00faltiplo de [tex]99[\/tex] anterior a [tex]3521826[\/tex] ser\u00e1 [tex]3521826-99=3521727[\/tex] que igualmente n\u00e3o \u00e9 da forma [tex]35218xy.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) Sejam [tex] \\, x \\, [\/tex] e [tex] \\, y \\, [\/tex] algarismos tais que [tex] \\, n=35218xy \\, [\/tex] \u00e9 um n\u00famero divis\u00edvel por [tex]99[\/tex]. Determine [tex]n[\/tex]. (Aqui, a nota\u00e7\u00e3o [tex]35218xy[\/tex] n\u00e3o … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-121741","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/121741","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=121741"}],"version-history":[{"count":30,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/121741\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220078,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/121741\/revisions\/220078"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=121741"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}