{"id":121573,"date":"2019-03-08T13:56:37","date_gmt":"2019-03-08T16:56:37","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=121573"},"modified":"2024-06-10T04:35:15","modified_gmt":"2024-06-10T07:35:15","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-elementos-de-um-conjunto-um-desafio","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-elementos-de-um-conjunto-um-desafio\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Elementos de um conjunto &#8211; um desafio"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220134\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>(<strong>CERPERJ 2010<\/strong> &#8211; Adaptado) Considere [tex]C[\/tex] o conjunto formado por todos os n\u00fameros naturais [tex]p[\/tex] para os quais  [tex]\\dfrac{p^2+5}{p+2}[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m um n\u00famero natural.<br \/>\nQual \u00e9 o n\u00famero de elementos de [tex]C[\/tex]?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Seja [tex]p[\/tex] um n\u00famero natural tal que [tex]\\dfrac{p^2+5}{p+2}[\/tex] tamb\u00e9m seja um n\u00famero natural.<br \/>\nA princ\u00edpio, este problema parece imposs\u00edvel de ser resolvido, principalmente se algu\u00e9m pensar em sair substituindo valores de [tex]p[\/tex] na fra\u00e7\u00e3o para produzir n\u00fameros naturais. Mas o que faz deste problema um desafio \u00e9 que aqui entra um artif\u00edcio:<\/p>\n<ul>\n<li>  [tex]p^2+5=(p^2-4)+9.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Bem, voc\u00ea pode estar se perguntando &#8211; <em>T\u00e1, e da\u00ed?<\/em><br \/>\nEscrevendo  [tex]p^2+5[\/tex]  como [tex](p^2-4)+9[\/tex], o quociente [tex]\\dfrac{p^2+5}{p+2}[\/tex] pode ser reescrito de uma forma muito conveniente, observe:<br \/>\n[tex]\\qquad \\begin{align*}\\boxed{\\dfrac{p^2+5}{p+2}}&#038;=\\dfrac{(p^2-4)+9}{p+2}\\\\<br \/>\n&#038;=\\dfrac{p^2-4}{p+2}+\\dfrac{9}{p+2}\\\\<br \/>\n&#038;=\\dfrac{(p+2)\\cdot (p-2)}{p+2}+\\dfrac{9}{p+2}\\\\<br \/>\n&#038;=\\dfrac{\\cancel{(p+2)}\\cdot (p-2)}{\\cancel{p+2}}+\\dfrac{9}{p+2}\\\\<br \/>\n&#038;= \\boxed{(p-2)+\\dfrac{9}{p+2}}.\\\\<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\n[\/tex]<br \/>\nCom isso, vamos procurar n\u00fameros naturais [tex]p[\/tex] para os quais  [tex](p-2)+\\dfrac{9}{p+2}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural.<br \/>\nPara facilitar o nosso racioc\u00ednio, inicialmente procuraremos n\u00fameros inteiros [tex]p[\/tex] para os quais  [tex](p-2)+\\dfrac{9}{p+2}[\/tex] seja um n\u00famero inteiro. \t<\/p>\n<ul>\n<li>Seja, ent\u00e3o, [tex]p[\/tex] um n\u00famero inteiro tal que  [tex](p-2)+\\dfrac{9}{p+2}[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m inteiro.<\/li>\n<p> Note que  [tex]p-2[\/tex] \u00e9 um n\u00famero inteiro; assim, para que [tex](p-2)+\\dfrac{9}{p+2}[\/tex] seja  inteiro, necessariamente [tex]\\dfrac{9}{p+2}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero inteiro. Sabemos que, para que uma fra\u00e7\u00e3o com numerador e denominador inteiros defina um n\u00famero inteiro, o denominador deve ser um divisor do numerador.<br \/>\nNo nosso caso, [tex]p+2[\/tex] deve ser um divisor de [tex]9[\/tex] e, como isso, temos as seguintes possibilidades para [tex]p+2[\/tex]: <\/p>\n<ul>\n<li>[tex]-9, \\, -3, \\, -1, \\, 1, \\, 3, \\, 9.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Vamos analisar esses seis valores, lembrando que, na verdade, estamos interessados em valores naturais de [tex]p.[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li> Se [tex]p+2=-9[\/tex], ent\u00e3o [tex]p=-11[\/tex] e [tex]-11[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero natural.<\/li>\n<li> Se [tex]p+2=-3[\/tex], ent\u00e3o [tex]p=-5[\/tex] e [tex]-5[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero natural.<\/li>\n<li> Se [tex]p+2=-1[\/tex], ent\u00e3o [tex]p=-3[\/tex] e [tex]-3[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero natural.<\/li>\n<li> Se [tex]p+2=1[\/tex], ent\u00e3o [tex]p=-1[\/tex] e [tex]-1[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero natural.<\/li>\n<li> Se [tex]p+2=3[\/tex], ent\u00e3o [tex]p=1[\/tex] e [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1$}[\/tex] \u00e9 um valor que nos interessa pois \u00e9 um n\u00famero natural.<\/li>\n<li> Se [tex]p+2=9[\/tex], ent\u00e3o [tex]p=7[\/tex] e [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$7$}[\/tex] \u00e9 um valor que tamb\u00e9m nos interessa pois \u00e9 um n\u00famero natural.<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p>Para quem gosta de ver para crer, veja que:<\/p>\n<ul>\n<li> Se [tex]p=1[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\dfrac{p^2+5}{p+2}=\\dfrac{6}{3}=3[\/tex] (um n\u00famero natural);<\/li>\n<li> Se [tex]p=7[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\dfrac{p^2+5}{p+2}=\\dfrac{54}{9}=6[\/tex] (um n\u00famero natural).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Portanto, [tex]C=\\{1,7\\}[\/tex], ou seja, [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$C \\text{ tem 2 elementos}$}[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/02\/Elementos-de-um-conjunto-\u2013-um-desafio.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Elementos de um conjunto \u2013 um desafio.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil) (CERPERJ 2010 &#8211; Adaptado) Considere [tex]C[\/tex] o conjunto formado por todos os n\u00fameros naturais [tex]p[\/tex] para os quais [tex]\\dfrac{p^2+5}{p+2}[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m um n\u00famero natural. Qual \u00e9 o n\u00famero de elementos de [tex]C[\/tex]? 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