{"id":12157,"date":"2013-12-26T02:01:44","date_gmt":"2013-12-26T04:01:44","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=12157"},"modified":"2023-01-12T02:37:44","modified_gmt":"2023-01-12T05:37:44","slug":"problemao-seis-pontos-e-duas-cores","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-seis-pontos-e-duas-cores\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Seis pontos e duas cores"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/strong><\/p>\n

\n

Marque seis pontos em um plano, como os ilustrados na figura abaixo, e tome dois l\u00e1pis de cor, azul e vermelho, por exemplo. Conecte cada par de pontos com um segmento de uma das duas cores escolhidas inicialmente.
\nConectados todos os segmentos, pergunta-se:
\n 
\na) Quantos tri\u00e2ngulos existir\u00e3o ao final?
\n 
\nb) \u00c9 poss\u00edvel executar a tarefa de modo que n\u00e3o haja qualquer tri\u00e2ngulo com os tr\u00eas lados de uma mesma cor? Explique.<\/p>\n

\"seis\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/strong><\/span><\/p>\n

\n

a) Para cada tri\u00e2ngulo necessitamos de 3 v\u00e9rtices distintos.
\n– Para a escolha do primeiro v\u00e9rtice, temos 6 possibilidades.
\n– Para a escolha do segundo e terceiro, temos 5 e 4 possibilidades, respectivamente.
\nIsso resulta em [tex]6\\times\\ 5 \\times\\ 4=120[\/tex] possibilidades.
\nComo a ordem da escolha dos v\u00e9rtices n\u00e3o altera o tri\u00e2ngulo, (os tri\u00e2ngulos ABC, ACB, BCA, BAC, CAB e CBA s\u00e3o todos os mesmos, por exemplo) para cada 3 v\u00e9rtices escolhidos, temos 6 composi\u00e7\u00f5es iguais, o que nos leva a dividir o resultado obtido anteriormente por 6, ou seja, h\u00e1 um total de 20 tri\u00e2ngulos poss\u00edveis.
\n 
\nb)Tentemos executar a tarefa evitando tri\u00e2ngulos de uma mesma cor.
\nPara um dos pontos, digamos A, haver\u00e1 5 pontos a serem conectados.
\nComo dispomos de apenas duas cores, pelo PCP – Princ\u00edpio das Casas dos Pombos<\/strong><\/span><\/a> – tr\u00eas desses segmentos, pelo menos, devem ser da mesma cor, digamos azul. Agora supomos que as extremidades desses segmentos sejam os pontos B, C e D. Se tiv\u00e9ssemos BC azul, ent\u00e3o ter\u00edamos o tri\u00e2ngulo ABC azul, o que n\u00e3o desejamos. Assim BC deve ser vermelho. Pelo mesmo argumento, se BD fosse azul, ent\u00e3o ter\u00edamos o tri\u00e2ngulo ABD azul, o que tamb\u00e9m n\u00e3o queremos. Logo, BD deve ser vermelho.
\n\"seis
\n 
\nE agora? O que resta para CD? Se for azul, teremos o tri\u00e2ngulo ACD azul. Por outro lado, se for vermelho, teremos o tri\u00e2ngulo BCD vermelho…
\nCom isso, vemos que \u00e9 imposs\u00edvel executar a tarefa proposta.<\/span><\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Marque seis pontos em um plano, como os ilustrados na figura abaixo, e tome dois l\u00e1pis de cor, azul e vermelho, por exemplo. Conecte cada par de pontos com um segmento de uma das duas cores escolhidas inicialmente. Conectados todos os segmentos, pergunta-se:   a) … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":164,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-12157","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/12157","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/164"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=12157"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/12157\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":182820,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/12157\/revisions\/182820"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=12157"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}