{"id":121525,"date":"2019-03-08T14:05:33","date_gmt":"2019-03-08T17:05:33","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=121525"},"modified":"2024-06-10T04:37:33","modified_gmt":"2024-06-10T07:37:33","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-numeros-primos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-numeros-primos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: N\u00fameros primos"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220137\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n(<strong>CEFET-AL &#8211; 2013 &#8211; IF-AL<\/strong> &#8211; Adaptado) Todas as afirma\u00e7\u00f5es abaixo s\u00e3o relacionadas a n\u00fameros primos.<\/p>\n<p style=\"padding-left:40px;\">\n[tex]\\textcolor{#800000}{(i)} [\/tex] Dado um n\u00famero primo, existe sempre um n\u00famero primo maior que ele.<br \/>\n[tex]\\textcolor{#800000}{(ii)} [\/tex]  Se dois n\u00fameros naturais n\u00e3o t\u00eam fatores primos iguais, ent\u00e3o um deles \u00e9 \u00edmpar.<br \/>\n[tex]\\textcolor{#800000}{(iii)} [\/tex]  Um n\u00famero primo \u00e9 sempre \u00edmpar.<br \/>\n[tex]\\textcolor{#800000}{(iv)} [\/tex]  O produto de tr\u00eas n\u00fameros naturais consecutivos \u00e9 m\u00faltiplo de um primo.<br \/>\n[tex]\\textcolor{#800000}{(v)} [\/tex]  A soma de tr\u00eas n\u00fameros naturais consecutivos \u00e9 m\u00faltiplo de tr\u00eas, e tr\u00eas \u00e9 primo.<\/p>\n<ul>\n<li><strong> Verifique quais dessas afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras.<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:23px; width:95%; margin-left:auto; margin-right:auto; \">\n<p class=\"tit c3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">AJUDA<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nQuando um n\u00famero natural [tex] \\, n[\/tex], [tex] \\, n>1[\/tex], possui como divisores naturais apenas ele pr\u00f3prio e a unidade, dizemos que [tex] \\, n \\, [\/tex] \u00e9 um <strong>n\u00famero primo<\/strong>. Desta forma, s\u00e3o n\u00fameros primos: [tex]2[\/tex], [tex]3[\/tex], [tex]5[\/tex], [tex]7[\/tex], [tex]11[\/tex], [tex]13[\/tex], entre muitos outros.<br \/>\n&quot;<strong><em>Existem infinitos n\u00fameros primos<\/em><\/strong>&quot; e isto pode ser demonstrado. <span style=\"font-size:11px;\"> (Neste momento, estamos interessados apenas no resultado e n\u00e3o em sua demonstra\u00e7\u00e3o.)<\/span> O primeiro matem\u00e1tico a demonstrar esse fato foi <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/b_euclides\/\" title=\"Biografia\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #800000;\"><strong>Euclides<\/strong><\/span> <\/a>(matem\u00e1tico grego cuja biografia voc\u00ea pode encontrar na Biblioteca dos Clubes).<br \/>\nOutra caracter\u00edstica importante dos n\u00fameros primos \u00e9 que eles funcionam como blocos num\u00e9ricos fundamentais, sendo respons\u00e1veis por gerar todos os n\u00fameros naturais diferentes de [tex]0[\/tex] e de [tex]1[\/tex]&quot;. Esta propriedade \u00e9 conhecida como <strong>Teorema Fundamental da Aritm\u00e9tica<\/strong> e ela garante que &quot;<strong><em>um n\u00famero natural diferente de [tex]0[\/tex] e de [tex]1[\/tex] ou \u00e9 um n\u00famero primo ou pode ser escrito de forma \u00fanica, a menos da ordem dos fatores, como produto de n\u00fameros primos<\/em><\/strong>&quot;. <span style=\"font-size:11px;\"> (Neste momento, tamb\u00e9m n\u00e3o estamos interessados na demonstra\u00e7\u00e3o desse resultado. Mas se voc\u00ea se interessou por esse Teorema, temos uma Sala aqui no Blog dedicada a ele. Voc\u00ea pode visit\u00e1-la mais tarde: \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-para-leitura_011-teorema-fundamental-da-aritmetica\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><span class=\"c3\"> <strong>AQUI<\/strong><\/a>.)<\/span><\/p>\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:429px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"90\" height=\"109\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:300px;background-color: #eee0e5; padding:15px;\"> O v\u00eddeo abaixo tamb\u00e9m pode ajudar&#8230;<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:10px; text-align:center\">\n<iframe loading=\"lazy\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/RtHcQXsgnRk?rel=0\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nVamos analisar uma a uma as cinco afirma\u00e7\u00f5es.<br \/>\n<strong>[tex]\\textcolor{#800000}{(i)} [\/tex] Dado um n\u00famero primo, existe sempre um n\u00famero primo maior que ele.<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px 30px 10px 30px;\">Esta afirma\u00e7\u00e3o garante que, dado um n\u00famero primo [tex]p[\/tex], existe sempre um n\u00famero primo [tex]q[\/tex] tal que [tex]q \\gt p.[\/tex]<br \/>\nSe ela n\u00e3o fosse verdadeira, existiria um n\u00famero primo [tex]k[\/tex] tal que nenhum primo seria maior do que ele. Nesse caso, [tex]k[\/tex] seria o maior dentre todos os n\u00fameros primos e, portanto, ter\u00edamos no m\u00e1ximo [tex]k[\/tex] n\u00fameros primos. <span style=\"font-size:12px;\">(As ilustra\u00e7\u00f5es abaixo talvez possam lhe ajudar a entender essa argumenta\u00e7\u00e3o&#8230;)<\/span><br \/>\nMas essa conclus\u00e3o contrariaria o fato de existirem infinitos n\u00fameros primos, n\u00e3o \u00e9?<br \/>\nDessa forma, a afirma\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} [\/tex] n\u00e3o pode ser falsa.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/prob272_2.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"176\" height=\"163\" class=\"aligncenter size-full wp-image-121461\" \/><br \/>\n <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/prob272_1.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"458\" height=\"203\" class=\"aligncenter size-full wp-image-121437\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/prob272_1.png 458w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/prob272_1-300x133.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 458px) 100vw, 458px\" \/> <\/p>\n<p>Pelo exposto, garantimos que:<\/p>\n<p class=\"c3 tit\"> a afirma\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} [\/tex] \u00e9 <strong>VERDADEIRA<\/strong>.<\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 30px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p><strong>[tex]\\textcolor{#800000}{(ii)} [\/tex]  Se dois n\u00fameros naturais n\u00e3o t\u00eam fatores primos iguais, ent\u00e3o um deles \u00e9 \u00edmpar.<\/strong><\/p>\n<div style=\"margin:10px 30px 10px 30px;\">\nDados dois n\u00fameros naturais quaisquer, uma (e somente uma) das seguintes condi\u00e7\u00f5es \u00e9 verdadeira:<\/p>\n<ul>\n<li>Ambos s\u00e3o pares.<\/li>\n<li>Ambos s\u00e3o \u00edmpares.<\/li>\n<li>Um \u00e9 par e o outro \u00e9 \u00edmpar.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Mas se soubermos que dois n\u00fameros n\u00e3o t\u00eam fatores primos iguais, eles n\u00e3o podem ser simultaneamente pares, pois, se o fossem, eles teriam o [tex]2[\/tex] como fator primo comum. Nesse caso, das tr\u00eas condi\u00e7\u00f5es acima apenas uma das seguintes \u00e9 verdadeira:<\/p>\n<ul>\n<li>Ambos s\u00e3o <strong>\u00edmpares<\/strong>.<\/li>\n<li>Um \u00e9 par <strong>e<\/strong> o outro \u00e9 <strong>\u00edmpar<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Portanto, se dois n\u00fameros n\u00e3o t\u00eam fatores primos iguais, ent\u00e3o pelo menos um deles ser\u00e1 \u00edmpar.<br \/>\nPelo exposto, garantimos que:<\/p><\/div>\n<p class=\"c3 tit\"> a afirma\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)} [\/tex] \u00e9 <strong>VERDADEIRA<\/strong>.<\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 30px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p><strong>[tex]\\textcolor{#800000}{(iii)} [\/tex]  Um n\u00famero primo \u00e9 sempre \u00edmpar.<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px 30px 10px 30px;\">\nSabemos que o n\u00famero [tex]2[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel apenas por ele pr\u00f3prio e por [tex]1.[\/tex] Assim, [tex]2[\/tex], que n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero \u00edmpar, \u00e9 um n\u00famero primo.<br \/>\nPortanto:<\/p>\n<p class=\"c3 tit\">a afirma\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)} [\/tex] \u00e9 <strong>FALSA<\/strong>.<\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 30px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p><strong>[tex]\\textcolor{#800000}{(iv)} [\/tex]  O produto de tr\u00eas n\u00fameros naturais consecutivos \u00e9 m\u00faltiplo de um primo.<\/strong><\/p>\n<div style=\"margin:10px 30px 10px 30px;\">\n<p>Seja [tex]a[\/tex] um produto de tr\u00eas n\u00fameros naturais consecutivos. Assim, existe um n\u00famero natural  [tex]n[\/tex] tal que [tex]a=n \\cdot (n+1) \\cdot (n+2).[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li>Se [tex]a=0[\/tex], [tex]a[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de qualquer n\u00famero natural, em particular de um primo.<\/li>\n<li>Se [tex]a [\/tex] for n\u00e3o nulo, ent\u00e3o [tex]n\\geqslant 1[\/tex], [tex]n+1\\gt 1[\/tex] e [tex]n+2\\gt 1[\/tex], donde [tex]a=n \\cdot (n+1) \\cdot (n+2)\\gt 1[\/tex]. Pelo  <strong>Teorema Fundamental da Aritm\u00e9tica<\/strong>, como [tex]a\\gt 1[\/tex],  ou [tex]a[\/tex] \u00e9 um n\u00famero primo ou [tex]a[\/tex] pode ser escrito como produto de n\u00fameros primos.<\/li>\n<p>Mas:<\/p>\n<ul>\n<li>como todo n\u00famero \u00e9 m\u00faltiplo de si pr\u00f3prio, se [tex]a[\/tex] for um n\u00famero primo ele \u00e9 m\u00faltiplo de um primo;<\/li>\n<li>se [tex]a[\/tex] for escrito como produto de n\u00fameros primos, em particular, ele \u00e9 m\u00faltiplo de um primo.<\/li>\n<\/ul>\n<p>De todo modo, um produto n\u00e3o nulo de tr\u00eas n\u00fameros naturais consecutivos \u00e9 m\u00faltiplo de um primo.<\/ul>\n<p>De qualquer forma:<\/p><\/div>\n<p class=\"c3 tit\">a afirma\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)} [\/tex] \u00e9 <strong>VERDADEIRA<\/strong>.<\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 30px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p><strong>[tex]\\textcolor{#800000}{(v)} [\/tex]  A soma de tr\u00eas n\u00fameros naturais consecutivos \u00e9 m\u00faltiplo de tr\u00eas, e tr\u00eas \u00e9 primo.<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px 30px 10px 30px;\">Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural qualquer e sejam seus consecutivos [tex]n+1[\/tex] e [tex]n+2.[\/tex]<br \/>\nObserve que:<br \/>\n[tex]\\qquad x=n+(n+1)+ (n+2)=3n+3=3\\cdot(n+1)[\/tex],<br \/>\nou seja, [tex]x[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex].<br \/>\nComo [tex]3[\/tex] \u00e9 um n\u00famero primo, conclu\u00edmos que <\/p>\n<p class=\"c3 tit\">a afirma\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(v)} [\/tex] \u00e9 <strong>VERDADEIRA<\/strong>.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/N\u00fameros-primos_.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ N\u00fameros primos.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) (CEFET-AL &#8211; 2013 &#8211; IF-AL &#8211; Adaptado) Todas as afirma\u00e7\u00f5es abaixo s\u00e3o relacionadas a n\u00fameros primos. [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} [\/tex] Dado um n\u00famero primo, existe sempre um n\u00famero primo maior que ele. [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)} [\/tex] Se &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-numeros-primos\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-121525","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/121525","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=121525"}],"version-history":[{"count":27,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/121525\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220139,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/121525\/revisions\/220139"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=121525"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}