{"id":121428,"date":"2019-03-08T16:19:45","date_gmt":"2019-03-08T19:19:45","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=121428"},"modified":"2024-06-10T04:42:06","modified_gmt":"2024-06-10T07:42:06","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-varios-angulos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-varios-angulos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: V\u00e1rios \u00e2ngulos"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220143\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: F\u00e1cil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n(<strong>UK Junior Mathematical Olympiad 2012<\/strong> &#8211; Adaptado) No tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] da figura:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]D[\/tex] \u00e9 um ponto do segmento [tex]AB [\/tex] tal que  os segmentos [tex]AD[\/tex] e [tex]DC[\/tex] t\u00eam o mesmo comprimento;  <\/li>\n<li>a medida do \u00e2ngulo [tex]A\\hat BC[\/tex] \u00e9 [tex]72^\\circ[\/tex]; <\/li>\n<li>a medida do \u00e2ngulo [tex]A \\hat DC [\/tex] \u00e9 cinco vezes a medida de [tex]D \\hat CB[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Qual a medida do \u00e2ngulo [tex]A \\hat CD[\/tex]?<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/prob_268.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"324\" height=\"400\" class=\"aligncenter size-full wp-image-114786\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/prob_268.png 324w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/prob_268-243x300.png 243w\" sizes=\"auto, (max-width: 324px) 100vw, 324px\" \/><span style=\"font-size:11px;\"><strong>Observa\u00e7\u00e3o:<\/strong> Figura n\u00e3o proporcional aos dados do problema.<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nSeja [tex]\\alpha[\/tex] a medida em graus do \u00e2ngulo [tex] D \\hat C B.[\/tex] Assim, a medida em graus do \u00e2ngulo [tex] A \\hat DC[\/tex] \u00e9 [tex]5\\alpha[\/tex] e, consequentemente, a medida de [tex] C \\hat DB[\/tex] \u00e9 [tex]180^\\circ-5\\alpha[\/tex], j\u00e1 que [tex] A \\hat DC[\/tex] e [tex] C \\hat DB[\/tex] s\u00e3o \u00e2ngulos suplementares.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/prob268_1.png\"  style=\"border: none;\"  alt=\"\" width=\"316\" height=\"406\" class=\"aligncenter size-full wp-image-121419\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/prob268_1.png 316w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/prob268_1-233x300.png 233w\" sizes=\"auto, (max-width: 316px) 100vw, 316px\" \/><\/p>\n<p>Como a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ [\/tex], observando o tri\u00e2ngulo [tex]BDC[\/tex] segue que<br \/>\n[tex]\\qquad \\left(180^\\circ-5\\alpha \\right)+\\alpha+72^\\circ=180^\\circ [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\cancel{180^\\circ}-5\\alpha +\\alpha+72^\\circ=\\cancel{180^\\circ} [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 4\\alpha =72^\\circ [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\alpha =18^\\circ .[\/tex]<br \/>\nA partir da medida [tex]\\alpha[\/tex], obtemos que a medida do \u00e2ngulo [tex] A \\hat D C[\/tex] \u00e9 [tex]5 \\times 18^\\circ= 90^\\circ.[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/prob268_2.png\" style=\"border: none;\"  alt=\"\" width=\"334\" height=\"422\" class=\"aligncenter size-full wp-image-121421\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/prob268_2.png 334w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/prob268_2-237x300.png 237w\" sizes=\"auto, (max-width: 334px) 100vw, 334px\" \/><\/p>\n<p>Finalmente, j\u00e1 podemos calcular a medida do \u00e2ngulo [tex]A \\hat CD[\/tex].<br \/>\nNote que [tex]A \\hat CD[\/tex] \u00e9 um dos \u00e2ngulos da base de um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles; assim, se sua medida em graus for denotada por [tex]x[\/tex], ent\u00e3o a medida do \u00e2ngulo  [tex]D \\hat A C[\/tex] tamb\u00e9m ser\u00e1 [tex]x[\/tex]. Com isso, utilizando mais uma vez que &quot;a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ [\/tex]&quot; segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad x+90^\\circ +x=180^\\circ [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 2x+90^\\circ =180^\\circ [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 2x =90^\\circ [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad x =45^\\circ .[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/prob268_4.png\" style=\"border: none;\"  alt=\"\" width=\"317\" height=\"435\" class=\"aligncenter size-full wp-image-121425\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/prob268_4.png 317w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/prob268_4-219x300.png 219w\" sizes=\"auto, (max-width: 317px) 100vw, 317px\" \/><\/p>\n<p>Pelo exposto, a medida do \u00e2ngulo [tex] A \\hat C D[\/tex] \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$45^\\circ$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/V\u00e1rios-\u00e2ngulos_.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ V\u00e1rios \u00e2ngulos.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: F\u00e1cil) (UK Junior Mathematical Olympiad 2012 &#8211; Adaptado) No tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] da figura: [tex]D[\/tex] \u00e9 um ponto do segmento [tex]AB [\/tex] tal que os segmentos [tex]AD[\/tex] e [tex]DC[\/tex] t\u00eam o mesmo comprimento; a medida &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-varios-angulos\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-121428","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/121428","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=121428"}],"version-history":[{"count":18,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/121428\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220145,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/121428\/revisions\/220145"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=121428"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}