{"id":121412,"date":"2019-03-08T17:12:28","date_gmt":"2019-03-08T20:12:28","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=121412"},"modified":"2024-06-10T04:45:39","modified_gmt":"2024-06-10T07:45:39","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-traslados-para-um-evento","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-traslados-para-um-evento\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Traslados para um evento"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nCamila est\u00e1 organizando traslado a\u00e9reo para 1000 pessoas e 60 toneladas de bagagens, da cidade [tex]C_1[\/tex] para a cidade [tex]C_2[\/tex], onde ocorrer\u00e1 um megaevento.
\nA empresa contratada para efetuar os traslados tem condi\u00e7\u00f5es de disponibilizar doze avi\u00f5es do tipo A<\/strong> e oito avi\u00f5es do tipo B<\/strong>, com as seguintes caracter\u00edsticas:
\nAeronave A:<\/strong> transporta at\u00e9 200 passageiros e 6 toneladas de bagagens.
\nAeronave B:<\/strong> transporta at\u00e9 100 passageiros e 15 toneladas de bagagens.
\nTodos os voos decolar\u00e3o e pousar\u00e3o, praticamente, nos mesmos hor\u00e1rios.<\/p>\n

(a)<\/strong> A princ\u00edpio, considerando apenas a quantidade de avi\u00f5es de cada tipo, quais as poss\u00edveis maneiras que Camila ter\u00e1 para organizar os traslados, independentemente de quantos e quais passageiros v\u00e3o em cada avi\u00e3o?<\/p>\n

(b)<\/strong> A loca\u00e7\u00e3o de um avi\u00e3o do tipo A<\/strong> custa R$ 400 000,00 e a de um avi\u00e3o do tipo B<\/strong> custa R$ 100 000,00. Se Camila disp\u00f5e de R$ 2 400 000,00 para os traslados, quais s\u00e3o as possibilidades que ela tem? Dessas, quais as duas mais baratas? E as duas mais caras?<\/p>\n

Observa\u00e7\u00e3o:<\/strong> O problema deve ser resolvido utilizando-se um plano cartesiano [tex]xOy.[\/tex]<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\n(a)<\/strong> Sejam [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] as quantidades de aeronaves dos tipos A<\/strong> e B<\/strong> a serem utilizadas, respectivamente. Assim, a partir dos dados do problema, vamos estabelecer as restri\u00e7\u00f5es para [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex]:<\/p>\n
\n

(1)<\/strong> Ser\u00e3o contratados [tex]x[\/tex] do tipo A<\/strong> e [tex]y[\/tex] do tipo B<\/strong>. Como cada aeronave do tipo A<\/strong> transporta at\u00e9 [tex]200[\/tex] passageiros, cada aeronave do tipo B<\/strong> transporta at\u00e9 [tex]100[\/tex] passageiros e [tex]1\\ 000[\/tex] pessoas devem ser transportadas, a capacidade de todos os avi\u00f5es deve chegar, no m\u00ednimo, a essa quantidade de [tex]1\\ 000[\/tex] pessoas. Logo:<\/p>\n

    \n
  • [tex]200x+100y \\geqslant 1000.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n

    (2)<\/strong> Como cada aeronave do tipo A<\/strong> transporta at\u00e9 [tex]6[\/tex] toneladas de bagagens, cada aeronave do tipo B<\/strong> transporta at\u00e9 [tex]15[\/tex] toneladas de bagagens e [tex]60[\/tex] toneladas devem ser transportadas, a capacidade de transporte de todos os avi\u00f5es deve chegar, no m\u00ednimo, a [tex]60[\/tex] toneladas. Logo:<\/p>\n

      \n
    • [tex]6x+15y \\geqslant 60.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n

      (3)<\/strong> Camila s\u00f3 disp\u00f5e de doze aeronaves do tipo A<\/strong> e oito do tipo B. Assim:<\/p>\n

        \n
      • [tex]x \\leqslant 12[\/tex] e [tex]y \\leqslant 8.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n

        (4)<\/strong> Por outro lado, n\u00e3o se pode contratar um n\u00famero negativo de aeronaves. Portanto:<\/p>\n

          \n
        • [tex]x \\geqslant 0[\/tex] e [tex]y \\geqslant 0.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n

          Por (1)<\/strong>, (2)<\/strong>, (3)<\/strong> e (4)<\/strong>, a solu\u00e7\u00e3o do item (a) \u00e9 dada pelos pares ordenados naturais [tex](x,y)[\/tex] tais que:<\/p>\n

          [tex]\\begin{cases}
          \nx \\geqslant 0 \\\\
          \n y \\geqslant 0\\\\
          \nx \\leqslant 12\\\\
          \ny \\leqslant 8\\\\
          \n200x+100 y \\geqslant 1000\\\\
          \n6x+15y \\geqslant 60\\\\
          \n\\end{cases} \\, .\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n

          Nada impediria que constru\u00edssemos uma tabela com todos os valores naturais de [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] tais que [tex]x \\leqslant 12[\/tex] e [tex]y \\leqslant 8[\/tex] e avali\u00e1ssemos as somas [tex]200x+100y [\/tex] e [tex]6x+15y.[\/tex] No entanto, seriam [tex]13 \\times 9=117[\/tex] situa\u00e7\u00f5es nas quais as duas somas seriam avaliadas, ou seja, ter\u00edamos que fazer [tex]117\\times 2=234[\/tex] somas! Por isso \u00e9 que no problema foi sugerida a utiliza\u00e7\u00e3o de um plano cartesiano [tex]xOy.[\/tex] Assim, a solu\u00e7\u00e3o do item (a)<\/strong> do problema s\u00e3o os pontos de coordenadas naturais [tex]P=(x,y)[\/tex] do plano cartesiano [tex]xOy[\/tex] que satisfazem simultaneamente \u00e0s seguintes condi\u00e7\u00f5es:<\/p>\n

          [tex]\\boxed{x \\geqslant 0 \\text{ e } y \\geqslant 0}\\quad[\/tex] ; [tex] \\quad \\boxed{x \\leqslant 12}\\quad[\/tex] ; [tex]\\quad \\boxed{y \\leqslant 8}\\qquad [\/tex] ; [tex]\\quad \\boxed{200x+100 y \\geqslant 1000}\\quad [\/tex]; [tex]\\quad \\boxed{6x+15y \\geqslant 60} \\, [\/tex].<\/p>\n

          Ent\u00e3o, vamos estudar cada uma dessas condi\u00e7\u00f5es isoladamente em [tex]\\mathbb{R} \\times \\mathbb{R}[\/tex], para depois analisarmos as cinco simultaneamente e obtermos as solu\u00e7\u00f5es cujas coordenadas s\u00e3o n\u00fameros naturais.<\/p>\n

            \n
          • [tex]x\\geqslant 0[\/tex] e [tex]y\\geqslant 0[\/tex]
            \nOs pontos [tex]P=(x,y)[\/tex] que satisfazem essas duas condi\u00e7\u00f5es s\u00e3o:<\/li>\n
              \t– aqueles que est\u00e3o sobre o semieixo n\u00e3o negativo [tex]Ox \\, [\/tex] ([tex]x \\geqslant 0 \\, [\/tex] e [tex]y=0[\/tex]),
              \n\t– aqueles que est\u00e3o sobre o semieixo n\u00e3o negativo [tex]Oy \\, [\/tex] ([tex]y \\geqslant 0 \\, [\/tex] e [tex]x=0[\/tex]),
              \n\t– aqueles que est\u00e3o no chamado Primeiro Quadrante do plano cartesiano [tex]xOy \\, [\/tex], ou seja, \u00e0 direita do eixo [tex]y \\, [\/tex] e acima do eixo [tex]x \\, [\/tex] [tex](x \\gt 0 \\, [\/tex] e [tex]y \\gt 0).[\/tex]<\/ul>\n

              \"\"<\/p>\n

            • [tex]x \\leqslant 12 \\, [\/tex]<\/li>\n

              Os pontos [tex]P=(x,y)[\/tex] que satisfazem esta condi\u00e7\u00e3o s\u00e3o:<\/p>\n

                – aqueles que est\u00e3o sobre a reta [tex]r[\/tex] definida por [tex]x=12 \\, [\/tex],
                \n\t– aqueles que est\u00e3o \u00e0 esquerda da reta [tex]r[\/tex] ([tex]x \\lt 12 \\, [\/tex]).<\/ul>\n

                \"\"<\/p>\n

              • [tex]y \\leqslant 8 \\, [\/tex]<\/li>\n

                Os pontos [tex]P=(x,y)[\/tex] que satisfazem esta condi\u00e7\u00e3o s\u00e3o:<\/p>\n

                  – aqueles que est\u00e3o sobre a reta [tex]s[\/tex] definida por [tex]y=8 \\, [\/tex],
                  \n\t– aqueles que est\u00e3o abaixo da reta [tex]s[\/tex] ([tex]y \\lt 8 \\, [\/tex]).<\/ul>\n

                  \"\"<\/p>\n

                • [tex]200x+100y \\geqslant 1000 \\, [\/tex]<\/li>\n

                  Os pontos [tex]P=(x,y)[\/tex] que satisfazem esta condi\u00e7\u00e3o s\u00e3o:<\/p>\n

                    – aqueles que est\u00e3o sobre a reta [tex]t[\/tex] definida por [tex]y=10-2x \\, [\/tex] (e satisfazem a igualdade [tex]200x+100y =1000[\/tex]),
                    \n\t– aqueles que est\u00e3o acima da reta [tex]t[\/tex] (e satisfazem a desigualdade [tex]200x+100y \\gt 1000[\/tex]).<\/ul>\n

                    \"\"<\/p>\n

                  • [tex]6x+15y \\geqslant 60[\/tex]<\/li>\n

                    Os pontos [tex]P=(x,y)[\/tex] que satisfazem esta condi\u00e7\u00e3o s\u00e3o:<\/p>\n

                      – aqueles que est\u00e3o sobre a reta [tex]k[\/tex] definida por [tex]y=\\dfrac{20-2x}{5} \\, [\/tex] (e satisfazem a igualdade [tex]6x+15y = 60[\/tex]),
                      \n\t– aqueles que est\u00e3o acima da reta [tex]k[\/tex] (e satisfazem a desigualdade [tex]6x+15y \\gt 60[\/tex]).<\/ul>\n

                      \"\"<\/ul>\n

                      \n

                      Fazendo a interse\u00e7\u00e3o das cinco regi\u00f5es acima, e lembrando que a primeira nos obriga a trabalhar no primeiro quadrante e na parte n\u00e3o negativa dos dois eixos do plano cartesiano, obtemos a solu\u00e7\u00e3o do sistema [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] em [tex]\\mathbb{R} \\times \\mathbb{R}.[\/tex]<\/p>\n

                      \"\"\"\"<\/p>\n

                      Como as op\u00e7\u00f5es de Camila s\u00e3o dadas por pares ordenados [tex](x,y)[\/tex], com [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] n\u00fameros naturais, podemos cont\u00e1-las na figura a seguir e concluir que ela tem [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$79$} \\, [\/tex] maneiras para organizar os traslados, sem levar em considera\u00e7\u00e3o quantos e quais passageiros v\u00e3o em cada avi\u00e3o e se a bagagem de cada passageiro vai no mesmo avi\u00e3o dele.<\/p>\n

                      \"\"<\/p>\n

                      \n

                      \n
                      \n

                      \n

                      (b)<\/strong> A loca\u00e7\u00e3o de um avi\u00e3o do tipo A<\/strong> custa R$ 400 000,00 e a de um avi\u00e3o do tipo B<\/strong> custa R$ 100 000,00. Assim, se [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] s\u00e3o, respectivamente, as quantidades de aeronaves dos tipos A<\/strong> e B<\/strong> a serem utilizadas nos traslados, podemos definir o custo da loca\u00e7\u00e3o da seguinte forma:[tex]\\boxed{400000x+100000y}.[\/tex]
                      \nTemos, ent\u00e3o uma fun\u00e7\u00e3o [tex]G[\/tex] de duas vari\u00e1veis, definida por [tex]G(x,y)=400000x+100000y[\/tex], para a qual precisamos inicialmente determinar quantos dos [tex]79[\/tex] pares ordenados [tex](m,n)[\/tex] do item (a)<\/strong> s\u00e3o tais que [tex]G(m,n) \\leqslant 2400000[\/tex].
                      \nMais uma vez, poder\u00edamos calcular [tex]G(m,n)[\/tex] para cada um dos [tex]79[\/tex] pares ordenados, o que daria um pouco de trabalho. Mas note que, para cada n\u00famero [tex]k[\/tex], a equa\u00e7\u00e3o [tex]400000x+100000y=k[\/tex] descreve uma reta.
                      \nAssim, podemos analisar geometricamente a fam\u00edlia de retas paralelas descritas por [tex]400000x+100000y=z[\/tex], para n\u00fameros naturais [tex]z[\/tex] variando de [tex]0[\/tex] a [tex]2\\ 400\\ 000[\/tex], no plano cartesiano no qual esteja representada a solu\u00e7\u00e3o do item anterior.
                      \nA interse\u00e7\u00e3o de cada uma dessas retas com a regi\u00e3o obtida na solu\u00e7\u00e3o do item (a)<\/strong> determina os pontos que fornecem a quantidade de aeronaves dos dois tipos cujo pre\u00e7o de loca\u00e7\u00e3o \u00e9 o n\u00famero [tex]z[\/tex] que define a reta em quest\u00e3o.<\/p>\n

                      \"\"<\/p>\n

                      Para facilitar a an\u00e1lise, podemos utilizar o applet abaixo. <\/p>\n

                      No aplicativo podemos visualizar um plano cartesiano [tex]xOy[\/tex] e os pontos que representam as [tex]79[\/tex] maneiras de se organizar os traslados segundo as condi\u00e7\u00f5es do item (a)<\/strong>. Vemos tamb\u00e9m a reta definida pela equa\u00e7\u00e3o [tex]400000x+100000y=0[\/tex]; esta \u00e9 a primeira reta da fam\u00edlia de retas [tex]400000x+100000y=z[\/tex], na qual a vari\u00e1vel [tex]z[\/tex] representa o pre\u00e7o final pago pela loca\u00e7\u00e3o de [tex]x[\/tex] aeronaves do tipo A<\/strong> e [tex]y[\/tex] do tipo B<\/strong>. As demais retas dessa fam\u00edlia s\u00e3o obtidas movimentando-se horizontalmente o ponto que aparece na parte inferior direita do applet, sobre o segmento verde. Esse ponto indicar\u00e1 valores naturais de [tex]0[\/tex] a [tex]2400000[\/tex], valores estes que representar\u00e3o pre\u00e7os de [tex]R\\$ \\, 0,00[\/tex] a [tex]R\\$ \\, 2\\ 400\\ 000,00[\/tex] para loca\u00e7\u00e3o de [tex]x[\/tex] aeronaves do tipo A<\/strong> e de [tex]y[\/tex] aeronaves do tipo B<\/strong>.
                      \nPara cada reta obtida com a movimenta\u00e7\u00e3o do ponto Pre\u00e7o<\/strong>, a sua equa\u00e7\u00e3o ser\u00e1 exibida na parte superior do applet.<\/p>\n

                      \n