{"id":12103,"date":"2013-12-25T22:10:52","date_gmt":"2013-12-26T00:10:52","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=12103"},"modified":"2023-01-15T18:27:45","modified_gmt":"2023-01-15T21:27:45","slug":"problemao-queijo-e-rato","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-queijo-e-rato\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Queijo e Rato"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 6\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/strong><\/p>\n

\n[tex]27[\/tex] peda\u00e7os de queijo com formato c\u00fabico foram organizados de modo a formar um cubo maior, conforme mostra a figura abaixo.<\/p>\n

\"$RYFKEAO\"
\nUm ratinho viu o queijo e quer com\u00ea-lo por inteiro…
\nEle come um cubinho inteiro por dia e no dia seguinte ele come um cubinho vizinho.
\n(Entendamos por vizinhos dois peda\u00e7os com faces comuns.)
\n 
\n\u00c9 poss\u00edvel que o ratinho coma o peda\u00e7o que est\u00e1 no centro no [tex]27^\\circ[\/tex] dia?<\/strong>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/strong><\/span><\/p>\n

\n N\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel<\/strong>, vejamos.
\nPintando o cubo maior como mostra a figura abaixo, podemos concluir que o peda\u00e7o que fica no meio \u00e9 branco. Deste modo, h\u00e1 [tex]14[\/tex] peda\u00e7os pretos e [tex]13[\/tex] peda\u00e7os brancos.<\/p>\n

\"Solu\u00e7\u00e3o
\nObserve que:<\/p>\n

    \n
  • Se o rato come\u00e7a comendo um cubinho preto, no dia seguinte ter\u00e1 de comer um cubinho branco. No pr\u00f3ximo dia ele come um preto, no dia seguinte come um branco, e assim sucessivamente. Dessa forma, na melhor das hip\u00f3teses, ele comeria o \u00faltimo peda\u00e7o branco no [tex]26^\\circ[\/tex]dia e sobraria um preto para o [tex]27^\\circ[\/tex]dia.
    \n[tex]\\qquad \\qquad \\underbrace{p \\rightarrow b \\rightarrow p \\rightarrow b \\rightarrow \\cdots \\rightarrow p \\rightarrow b }_{26 \\, cubinhos} \\rightarrow \\textcolor{red}{p}[\/tex]\n<\/li>\n
  • J\u00e1, se o rato come\u00e7a comendo um cubinho branco, no [tex]25^\\circ[\/tex]dia ele comer\u00e1 o \u00faltimo cubinho branco. Sobrariam, ent\u00e3o, dois peda\u00e7os pretos (n\u00e3o vizinhos) para os [tex]26^\\circ[\/tex] e [tex]27^\\circ[\/tex]dias.
    \n[tex]\\qquad \\qquad \\underbrace{b \\rightarrow p \\rightarrow b \\rightarrow p \\rightarrow \\cdots \\rightarrow b }_{25 \\, cubinhos} \\rightarrow p \\rightarrow \\textcolor{red}{p}[\/tex]\n<\/li>\n<\/ul>\n

    De qualquer forma, o ratinho comer\u00e1 o \u00faltimo peda\u00e7o branco no [tex]25^\\circ[\/tex] dia ou no [tex]26^\\circ[\/tex] dia.
    \nSabemos que o peda\u00e7o que fica no meio \u00e9 branco; assim, o ratinho n\u00e3o conseguir\u00e1 comer o peda\u00e7o que est\u00e1 no centro no [tex]27^\\circ[\/tex] dia<\/strong>.<\/p>\n

    \n

    Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

     <\/p>\n

    \n

    Um applet para ajudar <\/p>\n

    \n

    \n

    Voc\u00ea pode utilizar o aplicativo abaixo para visualizar em 3D<\/strong> o cubo formado pelos [tex]27[\/tex] cubinhos que colorimos de branco e preto para facilitar a solu\u00e7\u00e3o do problema.
    \nAl\u00e9m de rodar o cubo grande, voc\u00ea pode apagar os cubinhos que o comp\u00f5em. Assim, voc\u00ea pode verificar que, de fato, o cubinho central \u00e9 branco e at\u00e9 simular os dois casos explicitados na solu\u00e7\u00e3o do problema.
    \nInstru\u00e7\u00f5es<\/strong>:
    \n(1)<\/strong> Espere o applet carregar completamente. (Ele pode demorar um pouquinho para carregar.)<\/span>
    \n(2)<\/strong> Para movimentar o cubo, clique em qualquer ponto da janela do aplicativo, mantenha o mouse pressionado e fa\u00e7a o movimento. (Se voc\u00ea estiver utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente na janela do aplicativo e fazer o movimento.)
    \n(3)<\/strong> Para deletar um cubinho colorido, clique nele com o bot\u00e3o esquerdo do mouse e delete-o. (Se voc\u00ea estiver utilizando um celular ou um tablet, pressione qualquer face do cubinho at\u00e9 que apare\u00e7a uma janelinha com algumas op\u00e7\u00f5es. Nessa janelinha, clique na op\u00e7\u00e3o Apagar<\/strong>.)
    \n(4)<\/strong> Se quiser voltar para a configura\u00e7\u00e3o inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do aplicativo.<\/p>\n

    \n