{"id":12092,"date":"2013-12-25T19:56:06","date_gmt":"2013-12-25T21:56:06","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=12092"},"modified":"2023-01-12T02:11:55","modified_gmt":"2023-01-12T05:11:55","slug":"problema-potencias-de-2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-potencias-de-2\/","title":{"rendered":".Problema: Pot\u00eancias de 2"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/strong><\/p>\n

\n

Rob\u00e9rio encontrou dois n\u00fameros num determinado texto sobre pot\u00eancias; a saber:
\n 
\n[tex]\\qquad A=2^{65}~[\/tex] e [tex]~B=2^{64}+2^{63}+2^{62}+\\cdots+2^2+2^1+2^0[\/tex].
\n 
\nPerguntou qual o maior deles a seus amigos S\u00f4nia e J\u00falio.
\nSem fazer contas S\u00f4nia disse que era o [tex]A[\/tex] e J\u00falio, tamb\u00e9m sem fazer contas, disse que era o [tex]B[\/tex].
\n 
\nQual dos dois acertou? Apresente um poss\u00edvel racioc\u00ednio utilizado por ele(a).<\/strong>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembrete <\/p>\n

\n

Dada uma progress\u00e3o geom\u00e9trica finita, [tex](a_1,\\, a_1q,\\, a_1q^2,\\, \\cdots\\, ,a_1q^{m-1})[\/tex], de raz\u00e3o [tex]q\\ne1[\/tex], a soma [tex]S[\/tex] desses [tex]m[\/tex] termos \u00e9 dada por:
\n\\begin{equation}
\nS=a_1+a_1q+a_1q^2+\\cdots+a_1q^{m-1}=\\dfrac{a_1\\cdot (q^m-1)}{q-1}.
\n\\end{equation}<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/strong><\/span><\/p>\n

\n

O n\u00famero obtido quando se efetuam as contas da express\u00e3o escolhida por J\u00falio \u00e9 exatamente o antecessor do n\u00famero escolhido por S\u00f4nia. Vejamos!
\n 
\nObserve que [tex]B[\/tex] \u00e9 a soma dos termos da progress\u00e3o geom\u00e9trica finita [tex](2^0,~2^1,~ 2^2,\\cdots,~2^{64})[\/tex], de raz\u00e3o [tex]2[\/tex] e com [tex]65[\/tex] termos; deste modo:
\n 
\n[tex]\\qquad B=2^{64}+2^{63}+ 2^{62}+ \\cdots +2^2+ 2^1+ 2^0\\\\
\n\\qquad B=\\dfrac{2^0(2^{65}-1)}{2-1}=2^{65}-1 \\\\
\n\\qquad B=A-1.[\/tex]
\n 
\nAssim, [tex]B[\/tex] \u00e9 o antecessor de [tex]A[\/tex] e, portanto, S\u00f4nia acertou.
\n<\/span><\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong><\/span>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Rob\u00e9rio encontrou dois n\u00fameros num determinado texto sobre pot\u00eancias; a saber:   [tex]\\qquad A=2^{65}~[\/tex] e [tex]~B=2^{64}+2^{63}+2^{62}+\\cdots+2^2+2^1+2^0[\/tex].   Perguntou qual o maior deles a seus amigos S\u00f4nia e J\u00falio. Sem fazer contas S\u00f4nia disse que era o [tex]A[\/tex] e J\u00falio, tamb\u00e9m sem fazer contas, disse que … <\/p>\n

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