{"id":120715,"date":"2019-01-23T13:52:52","date_gmt":"2019-01-23T15:52:52","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=120715"},"modified":"2024-06-08T23:34:19","modified_gmt":"2024-06-09T02:34:19","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-area-em-um-plano-cartesiano","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-area-em-um-plano-cartesiano\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: \u00c1rea em um plano cartesiano"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220061\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px; color:#0000FF\"> (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio <\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nAs retas [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex] mostradas no plano cartesiano [tex]xOy [\/tex] abaixo t\u00eam as seguintes equa\u00e7\u00f5es gerais:<br \/>\n [tex] \\qquad r:  2x+y-10=0, [\/tex]<br \/>\n [tex]\\qquad s: 2x+7y+14=0.[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/prob262_2.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"600\" height=\"602\" class=\"aligncenter size-full wp-image-113885\" \/><\/p>\n<p>Sabendo que: <\/p>\n<ul>\n<li>[tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o pontos do eixo [tex]Ox[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]A[\/tex] e [tex]D[\/tex] s\u00e3o pontos de [tex]r[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex] s\u00e3o pontos de [tex]s[\/tex];<\/li>\n<li>A dist\u00e2ncia do ponto [tex]B[\/tex] \u00e0 origem do sistema \u00e9 [tex]14[\/tex];<\/li>\n<\/ul>\n<p>determinar a \u00e1rea do quadril\u00e1tero [tex]ABCD[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p><strong>(1)<\/strong> Antes de mais nada, vamos determinar as coordenadas dos pontos [tex]A, \\, B, \\, C[\/tex] e [tex]D[\/tex] com rela\u00e7\u00e3o ao plano cartesiano [tex]xOy [\/tex] fixado. A princ\u00edpio, essas coordenadas ser\u00e3o assim denotadas:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\"> [tex]A=\\left(x_A,y_A\\right);\\qquad B=\\left(x_B,y_B\\right);\\qquad C=\\left(x_C,y_C\\right);\\qquad D=\\left(x_D,y_D\\right).[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li>Como [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o pontos do eixo [tex]Ox[\/tex], ent\u00e3o [tex]y_A=y_B=0[\/tex], ou seja:  [tex]A=\\left(x_A,0\\right)[\/tex] e [tex]B=\\left(x_B,0\\right)[\/tex]. <\/li>\n<li>A dist\u00e2ncia do ponto [tex]B[\/tex] \u00e0 origem do sistema \u00e9 [tex]14[\/tex]; logo, [tex]\\boxed{B=\\left(14,0\\right)}[\/tex].<\/li>\n<li>[tex]A=\\left(x_A,0\\right)[\/tex] \u00e9 ponto da reta [tex]r[\/tex]; assim, as coordenadas de [tex]A[\/tex] satisfazem a equa\u00e7\u00e3o de [tex]r[\/tex]:<\/li>\n<p>[tex]\\qquad r: 2x+y-10=0[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 2x_A+0-10=0[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 2x_A=10[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad x_A=5.[\/tex]<br \/>\nDessa forma, [tex]\\boxed{A=\\left(5,0\\right)}.[\/tex]<\/p>\n<li>O segmento [tex]\\overline{BC}[\/tex] \u00e9 perpendicular ao eixo [tex]Ox[\/tex], donde [tex]x_B=x_C[\/tex], ou seja, [tex]C=\\left(14,y_C\\right).[\/tex]  E como [tex]C[\/tex] \u00e9 ponto da reta [tex]s[\/tex], suas coordenadas satisfazem a equa\u00e7\u00e3o de [tex]s[\/tex]:<\/li>\n<p>[tex]\\qquad s: 2x+7y+14=0[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad  2\\times 14+7y_C+14=0[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad  28+7y_C+14=0[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad  7y_C=-42[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad  y_C=-6.[\/tex]<br \/>\nPortanto, [tex]\\boxed{C=\\left(14,-6\\right)}.[\/tex]<\/p>\n<li>[tex]D=\\left(x_D,y_D\\right)[\/tex] \u00e9 ponto das retas [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex]; assim, as coordenadas de [tex]D[\/tex] satisfazem simultaneamente as equa\u00e7\u00f5es de [tex]r[\/tex] e de [tex]s[\/tex]. Com isso<\/li>\n<p>[tex]\\qquad 2x_D+y_D-10=0=2x_D+7y_D+14[\/tex],<br \/>\ndonde segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\cancel{2x_D}+y_D-10= \\cancel{2x_D}+7y_D+14.[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad y_D-10= 7y_D+14.[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad -6y_D= 24.[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad y_D= -4.[\/tex]<br \/>\nDe [tex]2x_D+y_D-10=0[\/tex] e [tex]y_D= -4[\/tex], vem que:<br \/>\n[tex]\\qquad 2x_D-4-10=0[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 2x_D=14[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad x_D=7[\/tex]<br \/>\ne, portanto, [tex]\\boxed{D=\\left(7,-4\\right)}.[\/tex]\n<\/ul>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><strong>(2)<\/strong> Para calcularmos a \u00e1rea do quadril\u00e1tero [tex]ABCD[\/tex], podemos decomp\u00f4-lo em figuras cujas \u00e1reas possam ser facilmente calculadas. A figura a seguir mostra uma dessas decomposi\u00e7\u00f5es.<br \/>\nObserve que na figura j\u00e1 aparecem as coordenadas que calculamos no item anterior.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/prob262_1.png\" style=\"border: none;\"  alt=\"\" width=\"664\" height=\"389\" class=\"aligncenter size-full wp-image-120562\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/prob262_1.png 664w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/prob262_1-300x176.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 664px) 100vw, 664px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:40px\">\n<ul>\n<li>A \u00e1rea [tex]A[\/tex] do quadril\u00e1tero [tex]ABCD[\/tex] pode ser particularmente decomposta como [tex]A=A_1+A_2[\/tex], onde: <\/li>\n<ul>\n<li>[tex]A_1[\/tex] \u00e9 a \u00e1rea do trap\u00e9zio ret\u00e2ngulo [tex]ABED[\/tex],<\/li>\n<li>[tex]A_2[\/tex] \u00e9 a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo  [tex]DEC.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p>Vamos aos c\u00e1lculos das \u00e1reas [tex]A_1[\/tex] e [tex]A_2[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/prob262_2.png\" alt=\"\" width=\"356\" height=\"256\" class=\"aligncenter size-full wp-image-120565\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/prob262_2.png 356w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/prob262_2-300x216.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 356px) 100vw, 356px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>[tex]A_1=\\dfrac{\\text{(base maior + base menor)} \\times \\text{altura}}{2}[\/tex] <\/li>\n<p>[tex]A_1=\\dfrac{(9 + 7) \\times 4}{2}[\/tex]<br \/>\n[tex]A_1=32[\/tex] unidades de \u00e1rea.<\/p>\n<li>[tex]A_2=\\dfrac{\\text{base } \\times \\text{altura}}{2}[\/tex] <\/li>\n<p>[tex]A_2=\\dfrac{7 \\times 2}{2}[\/tex]<br \/>\n[tex]A_2=7[\/tex] unidades de \u00e1rea.\n<\/ul>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Portanto, a \u00e1rea do quadril\u00e1tero [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A=32+7=39$}[\/tex] unidades de \u00e1rea.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/\u00c1rea-em-um-plano-cartesiano.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ \u00c1rea em um plano cartesiano.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. 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