Problema (Extra\u00eddo do livro Temas e Problemas Elementares<\/strong>) Considere o quadrado formado pelos pontos [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex], com lados medindo [tex]10\\;cm[\/tex]. Sejam [tex]M[\/tex] e [tex]N[\/tex] os pontos m\u00e9dios dos lados [tex]\\overline{BC}[\/tex] e [tex]\\overline{CD}[\/tex], respectivamente. Construindo os segmentos [tex]\\overline{AM}[\/tex], [tex]\\overline{AN}[\/tex] e [tex]\\overline{NB}[\/tex], dividimos o quadrado em cinco partes, como na figura. \n<\/div>\n \n Lembrete <\/p>\n \n Se dois tri\u00e2ngulos possuem a mesma altura, ent\u00e3o a raz\u00e3o entre as medidas de suas \u00e1reas \u00e9 igual \u00e0 raz\u00e3o entre as medidas de suas bases, relativas a essa altura.<\/p>\n Nota\u00e7\u00e3o<\/p>\n \n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Consideremos [tex]F[\/tex] o ponto m\u00e9dio do lado [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]P[\/tex] o ponto de interse\u00e7\u00e3o dos segmentos [tex]\\overline{AM}[\/tex] e [tex]\\overline{NB}[\/tex]. Tra\u00e7ando o segmento [tex]\\overline{NF}[\/tex] obtemos o ponto [tex]Q[\/tex], interse\u00e7\u00e3o dos segmentos [tex]\\overline{AM}[\/tex] e [tex]\\overline{NF}[\/tex]. Com essas considera\u00e7\u00f5es obtemos a [tex]\\textbf{Figura 1}[\/tex] abaixo. <\/p>\n [tex]\\qquad \\dfrac{10}{5}=\\dfrac{5}{FQ}\\\\\\ [tex]\\qquad \\dfrac{NQ}{BM}=\\dfrac{PQ}{PM}\\\\ [tex] \\qquad \\dfrac{AM}{AQ}=\\dfrac{BM}{FQ} \\\\ Uma vez que o quadrado tem lado medindo [tex]10\\;cm[\/tex], a \u00e1rea, [tex]A_1[\/tex], do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo [tex]\\Delta(ABM)[\/tex] \u00e9 dada por \n Observemos que as alturas dos tri\u00e2ngulos [tex]\\Delta(ABM)[\/tex] e [tex]\\Delta(ABP)[\/tex], em rela\u00e7\u00e3o \u00e0s bases [tex]\\overline{AM}[\/tex] e [tex]\\overline{AP}[\/tex], respectivamente, s\u00e3o iguais. Denotando por [tex]A_2[\/tex] a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo do [tex]\\Delta(ABP)[\/tex], pelo Lembrete, temos que: \n Notemos que os tri\u00e2ngulos [tex]\\Delta(ABM)[\/tex], [tex]\\Delta(ADN)[\/tex] e [tex]\\Delta(BCN)[\/tex] s\u00e3o congruentes; assim, suas \u00e1reas possuem mesma medida, ou seja, todas valem [tex]A_1=25\\;cm^2[\/tex]. Dessa maneira, a \u00e1rea, [tex]A_4[\/tex], do quadril\u00e1tero formado pelos pontos [tex]M,\\;P,\\;N[\/tex] e [tex]C[\/tex] \u00e9 dada por \n Por fim, como a \u00e1rea do quadrado vale [tex]100\\;cm^2[\/tex], a \u00e1rea, [tex]A_5[\/tex], do tri\u00e2ngulo [tex]\\Delta(APN)[\/tex] \u00e9 dada por Na figura abaixo, ilustramos a \u00e1rea de cada uma das cinco partes em quest\u00e3o.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (Extra\u00eddo do livro Temas e Problemas Elementares) Considere o quadrado formado pelos pontos [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex], com lados medindo [tex]10\\;cm[\/tex]. Sejam [tex]M[\/tex] e [tex]N[\/tex] os pontos m\u00e9dios dos lados [tex]\\overline{BC}[\/tex] e [tex]\\overline{CD}[\/tex], respectivamente. Construindo os segmentos [tex]\\overline{AM}[\/tex], [tex]\\overline{AN}[\/tex] e [tex]\\overline{NB}[\/tex], dividimos o quadrado … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\nDetermine a \u00e1rea de cada uma dessas partes.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/Quadrado.jpg\")
<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/Figura-1.jpg\")
<\/p>\n\n
\n\\qquad FQ=2,5\\;cm. [\/tex]
\nComo [tex]NF=10\\;cm[\/tex], temos que [tex]NQ=10-FQ [\/tex] e assim:
\n[tex]\\qquad NQ=10-2,5\\\\
\n\\qquad NQ=7,5\\;cm.[\/tex]
\nNa [tex]\\textbf{Figura 2}[\/tex], ilustramos as medidas dos segmentos [tex]\\overline{FQ}[\/tex] e [tex]\\overline{NQ}[\/tex].<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/Figuras-2-3-e-4.jpg\")
<\/p>\n
\n\\qquad \\dfrac{7,5}{5}=\\dfrac{PQ}{PM}\\\\
\n\\qquad PQ=1,5PM.[\/tex]
\nNa [tex]\\textbf{Figura 3}[\/tex], acima, ilustramos o segmento [tex]\\overline{PQ}[\/tex], juntamente com os que j\u00e1 foram obtidos.<\/p>\n
\n\\qquad \\dfrac{AM}{AQ}=\\dfrac{5}{2,5}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{AM}{AQ}=2\\\\
\n\\qquad AM=2AQ.[\/tex]
\nSendo [tex]AM=AQ+QP+PM[\/tex] resulta que
\n[tex]\\qquad AQ+1,5PM+PM=2AQ\\\\
\n\\qquad AQ=2,5 PM.[\/tex]
\nNa [tex]\\textbf{Figura 4}[\/tex], ilustramos a medida do segmento [tex]\\overline{AQ}[\/tex], bem como as demais medidas obtidas.\n<\/ul>\n
\n\\begin{equation} A_1=\\dfrac{1}{2}(BM\\times AB)=\\dfrac{1}{2}(5\\times 10)= 25\\;cm^2.\\end{equation}<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\dfrac{A_1}{A_2}=\\dfrac{AM}{AP}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{25}{A_2}=\\dfrac{2AQ}{AQ+QP}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{25}{A_2}=\\dfrac{2(2,5PM)}{2,5PM+1,5PM}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{25}{A_2}=\\dfrac{5\\cancel{PM}}{4\\cancel{PM}}. [\/tex]
\nAssim, a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]\\Delta(ABP)[\/tex] \u00e9 [tex]A_2=20\\;cm^2[\/tex].
\nCom isso, conseguimos calcular a \u00e1rea [tex]A_3[\/tex] do tri\u00e2ngulo [tex]\\Delta(BPM)[\/tex]:
\n\\begin{equation} A_3=A_1-A_2=25-20=5\\;cm^2.\\end{equation}<\/p>\n
\n\\begin{equation}
\nA_4=A_1-A_3=25-5=20\\;cm^2.\\end{equation}<\/p>\n
\n\\begin{equation}
\nA_5=100- A_1-A_2-A_3-A_4=100- 2(A_1)-A_4=100-2(25)-20=30\\;cm^2.\\end{equation}<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/\u00c1reas.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/Medidas-das-\u00c1reas.png\")
<\/p>\n
\n