Problema \u201cTriangulino\u201d resolveu dividir o bolo entre todos os presentes de modo que cada corte, feito com uma faca e de cima para baixo, passasse pelo ponto m\u00e9dio de cada lado do tri\u00e2ngulo da face superior do bolo e tamb\u00e9m passasse pelo v\u00e9rtice oposto, conforme podemos ver na pr\u00f3xima figura.<\/p>\n Em rela\u00e7\u00e3o aos volumes das fatias, o que podemos afirmar? Justifique sua resposta.<\/p>\n \n<\/div>\n \n Lembretes <\/p>\n (1)<\/strong> <\/span> A \u00e1rea de um tri\u00e2ngulo \u00e9 dada por [tex]\\boxed{\\frac{\\text{base $\\times$ altura}}{2}}[\/tex]. Assim, tri\u00e2ngulos com mesma medida de base e mesma medida de altura em rela\u00e7\u00e3o essa base, t\u00eam a mesma \u00e1rea. \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Os segmentos que ligam os v\u00e9rtices [tex]A, B[\/tex] e [tex]C[\/tex] do tri\u00e2ngulo, base do prisma, aos pontos m\u00e9dios dos lados opostos, que denominaremos [tex]D, E[\/tex] e [tex]F[\/tex], respectivamente, s\u00e3o chamados medianas. [tex]\\qquad a+2b=a+2c[\/tex], donde [tex]\\qquad c+2b=c+2a[\/tex], donde Portanto, [tex]a=b=c[\/tex] e os seis tri\u00e2ngulos possuem mesma \u00e1rea. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.) No anivers\u00e1rio de \u201cTriangulino\u201d, cinco de seus amigos resolveram homenagear o companheiro com um bolo feito no formato de um prisma triangular, conforme mostrado a seguir. \u201cTriangulino\u201d resolveu dividir o bolo entre todos os presentes de modo que cada corte, feito com uma faca e … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nNo anivers\u00e1rio de \u201cTriangulino\u201d, cinco de seus amigos resolveram homenagear o companheiro com um bolo feito no formato de um prisma triangular, conforme mostrado a seguir.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/11\/Bolo-Triangular-1.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/11\/Bolo-Triangular-2.png\")
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<\/p>\n
\n (2)<\/strong> <\/span> O volume de um prisma \u00e9 dado por [tex]\\boxed{\\text{\u00e1rea da base $\\times$ altura}}[\/tex]. Logo, prismas com mesma medida de \u00e1rea de base e mesma medida de altura t\u00eam o mesmo volume.<\/p>\n
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\nSeja [tex]P[\/tex] o baricentro desse tri\u00e2ngulo (encontro das medianas). Obt\u00e9m-se, ent\u00e3o, seis tri\u00e2ngulos [tex]BPD, CPD, APE, CPE, APF[\/tex] e [tex]BPF[\/tex].
\nInicialmente, vamos mostrar que todos esses tri\u00e2ngulos t\u00eam mesma \u00e1rea!<\/p>\n\n
\nAnalogamente, as \u00e1reas de [tex]APF[\/tex] e [tex]BPF[\/tex] s\u00e3o iguais e ser\u00e3o chamadas de [tex]b[\/tex] e as \u00e1reas de [tex]APE[\/tex] e [tex]CPE[\/tex] tamb\u00e9m s\u00e3o iguais e ser\u00e3o chamadas de [tex]c[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/Bolo-Triangular-3.png\")
<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad 2b=2c[\/tex] e
\n[tex]\\qquad \\boxed{b=c}.[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad 2b=2a[\/tex] e
\n[tex]\\qquad \\boxed{b=a} \\, .[\/tex]<\/ul>\n
\nFinalmente, pode-se concluir que, como as \u00e1reas dos seis tri\u00e2ngulos da base s\u00e3o iguais e como a altura de cada fatia em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 base do bolo \u00e9 a mesma, ent\u00e3o o volume de cada prisma assim obtido ser\u00e1 o mesmo, pois o volume de cada prisma formado \u00e9 dado pelo produto da \u00e1rea da base pela sua altura.<\/p>\n
\n