{"id":12023,"date":"2013-12-25T17:32:05","date_gmt":"2013-12-25T19:32:05","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=12023"},"modified":"2023-01-12T01:48:16","modified_gmt":"2023-01-12T04:48:16","slug":"problemao-o-perimetro-do-triangulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-o-perimetro-do-triangulo\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: O per\u00edmetro do tri\u00e2ngulo"},"content":{"rendered":"
\n

Problema<\/strong><\/p>\n

Por um ponto [tex]A[\/tex] tra\u00e7amos duas tangentes a uma circunfer\u00eancia dada. Os pontos de tang\u00eancia s\u00e3o [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex].
\nPelo ponto [tex]D[\/tex], situado no arco [tex]\\stackrel{\\frown}{BC}[\/tex], tra\u00e7amos uma tangente \u00e0 circunfer\u00eancia a qual encontra os segmentos [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{AC}[\/tex] nos pontos [tex]E[\/tex] e [tex]F[\/tex], respectivamente. <\/p>\n

<\/p>\n

Sabendo que [tex]\\overline{AB}[\/tex] mede 8 cm, qual \u00e9 o per\u00edmetro do tri\u00e2ngulo [tex]AEF[\/tex]?\n<\/p><\/div>\n

\n

\n

Nota\u00e7\u00f5es e Lembretes<\/p>\n

\n ✏<\/strong> <\/span>Denotaremos o segmento de reta definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e seu respectivo comprimento por [tex]XY[\/tex].
\n ✏ <\/span>Congru\u00eancia de tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos:<\/strong>
\n Se dois tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos t\u00eam ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes.
\n ✏ <\/span> Se de um ponto [tex]T[\/tex] conduzirmos os segmentos [tex]\\overline{TT_1}[\/tex] e [tex]\\overline{TT_2}[\/tex] tangentes a uma circunfer\u00eancia, sendo [tex]T_1[\/tex] e [tex]T_2[\/tex] pontos da circunfer\u00eancia, ent\u00e3o [tex]\\overline{TT_1}[\/tex] e [tex]\\overline{TT_2}[\/tex] t\u00eam o mesmo comprimento.<\/p>\n

\"\"\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/strong><\/span><\/p>\n

Seja [tex]P[\/tex] o centro da circunfer\u00eancia dada.
\nObserve que o tri\u00e2ngulo [tex]PBE [\/tex] (em azul) e o tri\u00e2ngulo [tex] PDE[\/tex] (em vermelho), possuem:
\n(i)<\/strong> um lado em comum (segmento [tex]\\overline{EP}[\/tex]);
\n(ii)<\/strong> um \u00e2ngulo reto (j\u00e1 que qualquer tangente a uma circunfer\u00eancia \u00e9 sempre perpendicular ao raio no ponto de tang\u00eancia);
\n(iii)<\/strong> dois outros lados com a mesma medida (os segmentos [tex]\\overline{PB}[\/tex] e [tex]\\overline{PD}[\/tex] s\u00e3o raios da circunfer\u00eancia).<\/p>\n
    \n
  • Dessa forma, os tri\u00e2ngulos [tex]PBE~[\/tex] e [tex]~PDE[\/tex] s\u00e3o congruentes, pelo caso especial de congru\u00eancia de tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos. <\/li>\n

    \"per\u00edmetro<\/p>\n

  • O mesmo racioc\u00ednio garante que os tri\u00e2ngulos [tex]~PDF~[\/tex] e [tex]~PCF~[\/tex] tamb\u00e9m s\u00e3o congruentes.<\/li>\n<\/ul>\n

    \"\"<\/p>\n

    Assim, temos [tex]ED=EB~[\/tex] e [tex]~DF=CF[\/tex]; com isso, o per\u00edmetro do tri\u00e2ngulo [tex]AEF[\/tex], que denotaremos por [tex]Perim[\/tex], corresponde \u00e0 soma dos comprimentos dos segmentos [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{AC}[\/tex], ou seja,
    \n[tex]~~\\\\
    \n \\qquad Perim=AE+EF+FA\\\\
    \n\\qquad Perim=AE+(ED+DF)+FA\\\\
    \n\\qquad Perim=AE+(EB+CF)+FA\\\\
    \n\\qquad Perim=(AE+EB)+(CF+FA)\\\\
    \n\\qquad Perim=AB+CA\\\\
    \n\\qquad Perim=AB+AC\\,.\\\\
    \n[\/tex]
    \nFinalmente, um dos Lembretes <\/strong>nos garante que [tex]AC=AB[\/tex]; logo, segue que:
    \n[tex]~~\\\\
    \n\\qquad Perim=AB+AC\\\\
    \n\\qquad Perim=AB+AB\\\\
    \n\\qquad Perim=8+8\\\\
    \n\\qquad Perim=16\\,.\\\\
    \n[\/tex]
    \nPortanto, o per\u00edmetro do tri\u00e2ngulo [tex]AEF[\/tex] \u00e9 igual a 16 cm<\/strong>.<\/p>\n

    \n

    Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/div>\n

     <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Problema Por um ponto [tex]A[\/tex] tra\u00e7amos duas tangentes a uma circunfer\u00eancia dada. Os pontos de tang\u00eancia s\u00e3o [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex]. Pelo ponto [tex]D[\/tex], situado no arco [tex]\\stackrel{\\frown}{BC}[\/tex], tra\u00e7amos uma tangente \u00e0 circunfer\u00eancia a qual encontra os segmentos [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{AC}[\/tex] nos pontos [tex]E[\/tex] e [tex]F[\/tex], respectivamente.<\/p>\n","protected":false},"author":165,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-12023","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/12023","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/165"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=12023"}],"version-history":[{"count":13,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/12023\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":182810,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/12023\/revisions\/182810"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=12023"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}