\n
Algoritmo da divis\u00e3o<\/p>\n
Antes de apresentarmos o algoritmo da divis\u00e3o para n\u00fameros representados no sistema romano de numera\u00e7\u00e3o, precisamos apresentar os processos que ir\u00e3o gerar esse algoritmo. Dados dois n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex], dividendo e divisor, precisamos determinar n\u00fameros naturais [tex]q[\/tex] e [tex]r[\/tex], respectivamente quociente e resto da divis\u00e3o de [tex]a[\/tex] por [tex]b[\/tex], tais que:<\/p>\n
[tex]a=b\\times q+r[\/tex], com [tex]0 \\leqslant r \\lt b[\/tex],<\/p>\n
lembrando que n\u00e3o existe representa\u00e7\u00e3o para o zero no sistema romano. Dessa forma, um "resto de zero" ser\u00e1 simplesmente "nenhum resto".
\nPara que voc\u00eas entendam direitinho o processo, vamos apresent\u00e1-lo utilizando o sistema de numera\u00e7\u00e3o com o qual estamos habituados.
\nPercebam que, essencialmente, podemos executar uma divis\u00e3o utilizando repetidas subtra\u00e7\u00f5es: se contarmos o n\u00famero de vezes que podemos subtrair o divisor do dividendo, at\u00e9 que o dividendo se torne menor que o divisor, o quociente ser\u00e1 o resultado da contagem e o resto ser\u00e1 o que sobrou.
\nPor exemplo, vamos dividir [tex]53[\/tex] por [tex]9:[\/tex]
\n\\begin{array}{|c|c| c| c|}
\n\\hline
\n\\text{Valor}&\\text{Podemos subtrair 9?}& \\text{Diferen\u00e7a}&\\text{Contagem}\\\\
\n\\hline
\n53 & \\text{sim} & 53-9=44 & 1\\\\
\n\\hline
\n44 & \\text{sim} & 44-9=35 & 2\\\\
\n\\hline
\n35 & \\text{sim} & 35-9=26 & 3\\\\
\n\\hline
\n26 & \\text{sim} &26-9= 17 & 4\\\\
\n\\hline
\n17 & \\text{sim} & 17-9=\\fcolorbox{black}{#eae2d3}{$8$} & \\fcolorbox{black}{#eae2d3}{$5$}\\\\
\n\\hline
\n8 & \\text{n\u00e3o} & – & – \\\\
\n\\hline\\end{array}<\/p>\n
\n
Analisando os dados da tabela, conclu\u00edmos que o quociente e o resto da divis\u00e3o de [tex]53[\/tex] por [tex]9[\/tex] s\u00e3o, respectivamente, [tex]q=5[\/tex] e [tex]r=8[\/tex]. De fato, [tex]53=9\\times 5+8[\/tex] e [tex]0 \\leqslant 8 \\lt 9.[\/tex]
\nObservem que esse processo funcionar\u00e1 em qualquer sistema de numera\u00e7\u00e3o, em particular, no romano. No entanto, avaliem o trabalho que ter\u00edamos ao dividir [tex]2359[\/tex] por [tex]15[\/tex], j\u00e1 que ter\u00edamos que fazer [tex]157[\/tex] subtra\u00e7\u00f5es, uma vez que [tex]2359[\/tex] dividido por [tex]15[\/tex] tem quociente [tex]157[\/tex] e deixa resto [tex]4.[\/tex]
\nMas n\u00e3o se desesperem! Podemos diminuir consideravelmente a quantidade de subtra\u00e7\u00f5es a serem efetuadas em uma divis\u00e3o, multiplicando convenientemente o divisor por pot\u00eancias de dez ([tex]10, \\, 100, \\, 1000,\\cdots[\/tex]) e aumentando a nossa contagem de subtra\u00e7\u00f5es respectivamente de [tex]10[\/tex] em [tex]10[\/tex], de [tex]100[\/tex] em [tex]100[\/tex], de [tex]1000[\/tex] em [tex]1000[\/tex], etc.
\nVejamos, ent\u00e3o, a divis\u00e3o de [tex]2359[\/tex] por [tex]15[\/tex]:
\n\\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\n\\hline
\n\\text{Valor}&\\text{Queremos subtrair}&\\text{Podemos subtrair?}& \\text{Diferen\u00e7a}&\\text{Contagem}\\\\
\n\\hline
\n2359 & 15 \\times 100=\\boxed{1500} & \\text{sim} & 2359-1500=859& 100\\\\
\n\\hline
\n859 & 15 \\times 100=\\boxed{1500} & \\text{n\u00e3o} & – & – \\\\
\n\\hline
\n859 & 15 \\times 10=\\boxed{150} & \\text{sim} & 859-150=709& 100+10=110\\\\
\n\\hline
\n709 & 15 \\times 10=\\boxed{150} & \\text{sim} & 709-150=559& 110+10=120\\\\
\n\\hline
\n559 & 15 \\times 10=\\boxed{150} & \\text{sim} & 559-150=409& 120+10=130\\\\
\n\\hline
\n409 & 15 \\times 10=\\boxed{150} & \\text{sim} & 409-150=259& 130+10=140\\\\
\n\\hline
\n259 & 15 \\times 10=\\boxed{150} & \\text{sim} & 259-150=109 & 140+10=150\\\\
\n\\hline
\n109 & 15 \\times 10=\\boxed{150} & \\text{n\u00e3o} & – & – \\\\
\n\\hline
\n109 & \\boxed{15} & \\text{sim} & 109-15=94 & 150+1=151\\\\
\n\\hline
\n94 & \\boxed{15} & \\text{sim} & 94-15=79 & 151+1=152\\\\
\n\\hline
\n79 & \\boxed{15} & \\text{sim} & 79-15=64 & 152+1=153\\\\
\n\\hline
\n64 & \\boxed{15} & \\text{sim} & 64-15=49 & 153+1=154\\\\
\n\\hline
\n49 & \\boxed{15} & \\text{sim} & 49-15=34 & 154+1=155\\\\
\n\\hline
\n34 & \\boxed{15} & \\text{sim} & 34-15=19 & 155+1=156\\\\
\n\\hline
\n19 & \\boxed{15} & \\text{sim} & 19-15=\\fcolorbox{black}{#eae2d3}{$4$} & 156+1=\\fcolorbox{black}{#eae2d3}{$157$}\\\\
\n\\hline
\n4 & \\boxed{15} & \\text{n\u00e3o} & – & – \\\\
\n\\hline\\end{array}
\n Os dados da tabela nos mostram que o quociente e o resto da divis\u00e3o de [tex]2359[\/tex] por [tex]15[\/tex] s\u00e3o, respectivamente, [tex]q=157[\/tex] e [tex]r=4[\/tex].
\nAssim, o nosso algoritmo da divis\u00e3o envolver\u00e1 quatro processos matem\u00e1ticos: multiplica\u00e7\u00e3o por pot\u00eancias de dez, compara\u00e7\u00f5es entre dois n\u00fameros, subtra\u00e7\u00f5es e adi\u00e7\u00f5es.
\nConsiderando os processos desenvolvidos nas tr\u00eas Salas anteriores, precisaremos de um processo adicional: a partir da representa\u00e7\u00e3o no sistema romano, determinar se um dado n\u00famero \u00e9 maior do que outro. E a compara\u00e7\u00e3o entre dois n\u00fameros escritos no sistema romano de numera\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 dif\u00edcil; basta comparar as quantidades de s\u00edmbolos que cada n\u00famero possui:
\npassando dos s\u00edmbolos de maior valor para os de menor valor, isto \u00e9, da esquerda para direita, ignoramos aqueles que aparecem em igual quantidade nos dois n\u00fameros que est\u00e3o sendo comparados, at\u00e9 encontrarmos a primeira ocorr\u00eancia em que h\u00e1 mais s\u00edmbolos de certo valor em um dos dois n\u00fameros. O que cont\u00e9m mais s\u00edmbolos \u00e9 o maior.
\nVejam os exemplos:<\/p>\n
Pronto, estamos aptos a entender o algoritmo da divis\u00e3o!<\/p>\n
\n
O algoritmo<\/p>\n
Etapa 1:<\/strong> <\/span> Obter produtos convenientes entre o divisor e pot\u00eancias de dez. Etapa 3:<\/strong> <\/span> Efetuar o processo das subtra\u00e7\u00f5es sucessivas com a devida contagem do n\u00famero de subtra\u00e7\u00f5es efetuadas. Alguns exemplos<\/p>\n Exemplo 1:<\/strong> [tex]XXXIX \\div VIII[\/tex] \\begin{array}{|c|c|c|} Etapa 2:<\/strong><\/span> [tex]XXX\\textcolor{#00FF00}{IX} \\div VIII\\mapsto XXX\\textcolor{#00FF00}{VIIII} \\div VIII[\/tex] Exemplo 2:<\/strong> [tex]CXX\\div VI[\/tex] Etapa 2:<\/strong><\/span> [tex]CXX\\div VI[\/tex] \n Etapa 4:<\/strong><\/span> <\/p>\n Exemplo 3:<\/strong> [tex]XCIV\\div VII[\/tex] Etapa 2:<\/strong><\/span> [tex]\\textcolor{#00FF00}{(XC)(VI)} \\div VII\\mapsto\\textcolor{#00FF00}{(LXXXX)(IIII)} \\div VII[\/tex] \n Etapa 4:<\/strong><\/span> <\/p>\n Conferindo:<\/strong> Voc\u00eas podem verificar se as contas est\u00e3o corretas, convertendo os valores para a nota\u00e7\u00e3o regular: <\/p>\n [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r} [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r} [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\n Etapa 2:<\/strong> <\/span>Descompactar todas as nota\u00e7\u00f5es subtrativas de cada um dos dois n\u00fameros.<\/p>\n\n
\n Etapa 4:<\/strong> <\/span> Finalizar o processo, destacando o quociente e o resto: o quociente \u00e9 o resultado da contagem e o resto \u00e9 a \u00faltima diferen\u00e7a.\n<\/div>\n
\n
\n
\n
\n Etapa 1:<\/strong><\/span><\/p>\n
\n\\hline
\n\\textcolor{red}{\\times} & \\quad X\\quad & \\quad C \\\\
\n\\hline
\nVIII & LXXX & DCCC \\\\
\n\\hline
\n\\end{array}
\nObservem que [tex]LXXX[\/tex] e [tex]DCCC[\/tex] s\u00e3o maiores do que [tex]XXXIX[\/tex], assim faremos apenas subtra\u00e7\u00f5es sucessivas utilizando [tex]VIII.[\/tex]<\/p>\n
\n Etapa 3:<\/strong><\/span>
\n\\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\n\\hline
\n\\text{Valor}&\\text{Queremos subtrair}&\\text{Podemos subtrair?}& \\text{Diferen\u00e7a}&\\text{Contagem}\\\\
\n\\hline
\nXXXVIIII & VIII & XXX\\cancel{VIII}I & XXXI & I\\\\
\n\\hline
\nXX\\textcolor{red}{X}I & VIII & XX\\textcolor{red}{\\cancel{VIII}II}I & XXIII & II\\\\
\n\\hline
\nX\\textcolor{blue}{X}III & VIII & X\\textcolor{blue}{V}\\cancel{\\textcolor{blue}{V}III} & XV & III\\\\
\n\\hline
\n\\textcolor{#FF00FF}{XV} & VIII & \\textcolor{#FF00FF}{V\\cancel{VIII}II} & \\fcolorbox{black}{#eae2d3}{$VII$} & \\fcolorbox{black}{#eae2d3}{$IV$}\\\\
\n\\hline
\nVII & VIII & \\text{N\u00e3o} & – & -\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}
\n Etapa 4:<\/strong><\/span> <\/p>\n\n
\n
\n Etapa 1:<\/strong><\/span>
\n\\begin{array}{|c|c|c|}
\n\\hline
\n\\textcolor{red}{\\times} & \\quad X\\quad & \\quad C \\\\
\n\\hline
\nVI & LX & DC \\\\
\n\\hline
\n\\end{array}
\nObservem que [tex]DC[\/tex] \u00e9 maior do que [tex]CXX[\/tex], assim faremos apenas subtra\u00e7\u00f5es sucessivas utilizando [tex]LX[\/tex] e [tex]VI[\/tex], nessa ordem.<\/p>\n
\n Etapa 3:<\/strong><\/span>
\n\\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\n\\hline
\n\\text{Valor}&\\text{Queremos subtrair}&\\text{Podemos subtrair?}& \\text{Diferen\u00e7a}&\\text{Contagem}\\\\
\n\\hline
\n\\textcolor{red}{C}XX & LX & \\textcolor{red}{L}\\cancel{\\textcolor{red}{L}X}X & LX & X\\\\
\n\\hline
\nLX & LX & \\cancel{LX} & & XX\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}<\/p>\n\n
\n
\n Etapa 1:<\/strong><\/span>
\n\\begin{array}{|c|c|c|}
\n\\hline
\n\\textcolor{red}{\\times} & \\quad X\\quad & \\quad C \\\\
\n\\hline
\nVII & LXX & DCC \\\\
\n\\hline
\n\\end{array}
\nObservem que [tex]DCC[\/tex] \u00e9 maior do que [tex]XCIV[\/tex], assim faremos apenas subtra\u00e7\u00f5es sucessivas utilizando [tex]LXX[\/tex] e [tex]VII[\/tex], nessa ordem.<\/p>\n
\n Etapa 3:<\/strong><\/span>
\n\\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\n\\hline
\n\\text{Valor}&\\text{Queremos subtrair}&\\text{Podemos subtrair?}& \\text{Diferen\u00e7a}&\\text{Contagem}\\\\
\n\\hline
\nLXXXXIIII & LXX & \\cancel{LXX}XXIIII & XXIIII & X\\\\
\n\\hline
\nXXIIII & LXX & \\text{N\u00e3o} & – & -\\\\
\n\\hline
\nX\\textcolor{red}{X}IIII & VII & X\\textcolor{red}{V}\\cancel{\\textcolor{red}{V}II}II & XVII & XI\\\\
\n\\hline
\nXVII & VII & X\\cancel{VII} & X & XII\\\\
\n\\hline
\n\\textcolor{blue}{X} & VII & \\textcolor{blue}{\\cancel{VII}III}& \\fcolorbox{black}{#eae2d3}{$III$} & \\fcolorbox{black}{#eae2d3}{$XIII$} \\\\
\n\\hline
\nIII & VII & \\text{N\u00e3o} & – & – \\\\
\n\\hline
\n\\end{array}<\/p>\n\n
\n\n
\n39 \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, 8 \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\n \\, 7
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\, \\, \\, 4
\n\\end{array}[\/tex] <\/p>\n
\n120 \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, 6 \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\n \\, \\, \\, 0
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\, \\, \\, 20
\n\\end{array}[\/tex] <\/p>\n
\n94 \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, 7 \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\n \\, \\, 3
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\, \\, 13
\n\\end{array}[\/tex]\n<\/ul>\n<\/div>\n