Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n Sabemos que para obtermos um tri\u00e2ngulo precisamos de tr\u00eas pontos n\u00e3o colineares. Al\u00e9m disso, observemos por exemplo que o tri\u00e2ngulo formado pelos pontos [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]J[\/tex] \u00e9 o mesmo tri\u00e2ngulo formado pelos pontos [tex]B[\/tex], [tex]J[\/tex] e [tex]A[\/tex], ou seja, a ordem de escolha destes pontos para a forma\u00e7\u00e3o do tri\u00e2ngulo n\u00e3o importa. Ent\u00e3o, para solucionarmos o problema, utilizaremos o conceito de Combina\u00e7\u00e3o Simples. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n Al\u00e9m disso, como, por exemplo, [tex]\\triangle ABJ[\/tex] e [tex]\\triangle BAJ[\/tex] s\u00e3o o mesmo tri\u00e2ngulo, a ordem dos pontos n\u00e3o importa e, portanto, usaremos combina\u00e7\u00e3o simples. \n Dessa forma, por (1)<\/strong> e (2)<\/strong>, o total de tri\u00e2ngulos formados pelos pontos pertencentes \u00e0s retas [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex] ser\u00e1: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) (Livro: Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 An\u00e1lise Combinat\u00f3ria – Adaptado) Sobre uma reta [tex]r[\/tex] foram marcados os pontos distintos [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex], e sobre uma reta [tex]s[\/tex], concorrente a [tex]r[\/tex] no ponto [tex]A[\/tex], foram marcados os pontos [tex]F[\/tex], [tex]G[\/tex], [tex]H[\/tex] e [tex]J[\/tex]. Determine a quantidade de … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n(Livro: Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 An\u00e1lise Combinat\u00f3ria<\/strong> – Adaptado) Sobre uma reta [tex]r[\/tex] foram marcados os pontos distintos [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex], e sobre uma reta [tex]s[\/tex], concorrente a [tex]r[\/tex] no ponto [tex]A[\/tex], foram marcados os pontos [tex]F[\/tex], [tex]G[\/tex], [tex]H[\/tex] e [tex]J[\/tex].
\nDetermine a quantidade de tri\u00e2ngulos que podemos formar com todos esses pontos.<\/p>\n
\n De acordo com o enunciado, as retas e os respectivos pontos podem ser desenhados como na figura a seguir. Notemos que qualquer outro rearranjo desses pontos, respeitando as condi\u00e7\u00f5es do enunciado, n\u00e3o alterar\u00e1 a solu\u00e7\u00e3o.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/retas.jpg\")
<\/p>\n
\nNeste caso, dispomos de [tex]8[\/tex] pontos para formarmos tri\u00e2ngulos. Vamos ent\u00e3o calcular a combina\u00e7\u00e3o desses [tex]8[\/tex] pontos tomados [tex]3[\/tex] a [tex]3[\/tex], isto \u00e9 [tex]C_{8,3}[\/tex], e desse n\u00famero vamos subtrair os casos em que n\u00e3o obtemos tri\u00e2ngulos, ou seja, os casos nos quais os tr\u00eas pontos forem colineares (por exemplo, os pontos [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex]).
\nTemos que os pontos [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex] s\u00e3o colineares. Logo, desses [tex]4[\/tex] pontos tomados [tex]3[\/tex] a [tex]3[\/tex] n\u00e3o obteremos tri\u00e2ngulos. Da mesma maneira, os pontos [tex]A[\/tex], [tex]F[\/tex], [tex]G[\/tex], [tex]H[\/tex] e [tex]J[\/tex] s\u00e3o colineares. Logo, desses [tex]5[\/tex] pontos tomados [tex]3[\/tex] a [tex]3[\/tex] n\u00e3o obteremos tri\u00e2ngulos.
\nAssim, o n\u00famero [tex]T[\/tex] de tri\u00e2ngulos que procuramos \u00e9 dado por:
\n[tex]\\qquad \\begin{eqnarray*}T&=&C_{8,3}-C_{4,3}-C_{5,3}=\\dfrac{8!}{3!(8-3)!}-\\dfrac{4!}{3!(4-3)!}-\\dfrac{5!}{3!(5-3)!}\\\\
\n&=&\\dfrac{8!}{3!5!}-\\dfrac{4!}{3!1!}-\\dfrac{5!}{3!2!}=\\dfrac{8\\cdot 7\\cdot 6\\cdot \\cancel{5!}}{3\\cdot 2\\cdot 1\\cdot \\cancel{ 5!}}-\\dfrac{4\\cdot \\cancel{ 3!}}{\\cancel{3!}\\cdot1}-\\dfrac{5\\cdot 4\\cdot \\cancel{3!}}{\\cancel{3!}\\cdot 2\\cdot 1}\\\\
\n&=&\\dfrac{336}{6}-4-\\dfrac{20}{2}= 56-4-10=42.
\n \\end{eqnarray*}[\/tex]
\nPortanto, o n\u00famero de tri\u00e2ngulos formados \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$42$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n
\n(1)<\/strong> Primeiramente vamos desconsiderar o ponto [tex]A[\/tex], interse\u00e7\u00e3o de [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex]. Assim, teremos quatro pontos em [tex]s[\/tex] e tr\u00eas pontos em [tex]r[\/tex].
\nPara formar um tri\u00e2ngulo, precisamos de tr\u00eas pontos n\u00e3o colineares. Vamos escolher esses pontos de duas maneiras:<\/p>\n\n
\nCalculando, temos
\n[tex]\\qquad T_1 = C_{4, 1}\\cdot C_{3, 2} + C_{3, 1}\\cdot C_{4, 2}= 12 +18= 30[\/tex]
\ne, assim, podemos obter [tex]\\boxed{30}[\/tex] tri\u00e2ngulos que n\u00e3o possuem v\u00e9rtice no ponto [tex]A.\\\\
\n[\/tex]
\n(2)<\/strong> Agora, determinamos todos os tri\u00e2ngulos que possuem v\u00e9rtice no ponto [tex]A[\/tex].
\nComo [tex]A\\in{r,s}[\/tex], ent\u00e3o, para formar o tri\u00e2ngulo, devemos escolher um ponto de cada uma das retas [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex]. Assim, escolhido o ponto [tex]A[\/tex], sobram 3 op\u00e7\u00f5es de escolha para o v\u00e9rtice em [tex]r[\/tex] e 4 para o v\u00e9rtice em [tex]s[\/tex].
\nCalculando, h\u00e1 [tex]\\boxed{T_A = 3\\times 4 = 12}[\/tex] tri\u00e2ngulos formados com v\u00e9rtice em [tex]A[\/tex].<\/ul>\n
\n[tex]T = T_1 + T_A = 30 + 12 = \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$42$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n