{"id":118816,"date":"2018-12-21T18:26:33","date_gmt":"2018-12-21T20:26:33","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=118816"},"modified":"2024-06-07T20:18:31","modified_gmt":"2024-06-07T23:18:31","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-area-lilas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-area-lilas\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: \u00c1rea azul"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220029\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#915F6D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio <\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Em uma malha quadriculada, foi constru\u00eddo um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles colorido de amarelo e, sobre cada lado desse tri\u00e2ngulo, foram constru\u00eddos tri\u00e2ngulos coloridos de azul, conforme mostra a figura. (Considere que os v\u00e9rtices dos tri\u00e2ngulos constru\u00eddos s\u00e3o v\u00e9rtices de quadradinhos da malha.)<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/azul1.png\" alt=\"\" width=\"320\" height=\"320\" class=\"aligncenter size-full wp-image-120403\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/azul1.png 404w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/azul1-150x150.png 150w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/azul1-300x300.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 320px) 100vw, 320px\" \/><\/p>\n<p><strong>(a)<\/strong> Sabendo-se que os lados dos quadradinhos da malha medem [tex]2,1 \\, [\/tex]cm cada, determinar toda a \u00e1rea colorida de azul.<br \/>\n<strong>(b)<\/strong> Justifique a afirma\u00e7\u00e3o de que o tri\u00e2ngulo amarelo \u00e9 is\u00f3sceles.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<strong>(a)<\/strong> Uma das maneiras de se calcular a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida de azul \u00e9 calcular diretamente a \u00e1rea dos tr\u00eas tri\u00e2ngulos coloridos de azul: tri\u00e2ngulos [tex]T_1, T_2, \\, T_3[\/tex], cujas \u00e1reas denotaremos por [tex]A_1, A_2, \\, A_3[\/tex], respectivamente.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/azul2.png\" alt=\"\" width=\"320\" height=\"320\" class=\"aligncenter size-full wp-image-120404\" \/><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/prob258_7.png\" alt=\"\" width=\"415\" height=\"315\" class=\"alignright size-full wp-image-118792\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/prob258_7.png 605w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/prob258_7-300x228.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 415px) 100vw, 415px\" \/><\/p>\n<p>Considerando que os lados dos quadradinhos da malha medem [tex]2,1 \\, [\/tex]cm cada, as medidas indicadas na figura ao lado podem ajudar no c\u00e1lculo das \u00e1reas.<\/p>\n<ul>\n<li>\u00c1rea do tri\u00e2ngulo [tex]T_1[\/tex]:<\/li>\n<p>[tex]\\qquad A_1=\\dfrac{12,6 \\times 4,2}{2}=26,46 \\text{ cm}^2[\/tex].<\/p>\n<li>\u00c1rea dos tri\u00e2ngulos [tex]T_2[\/tex] e [tex]T_3[\/tex]:<\/li>\n<p>[tex]\\qquad A_2=A_3=\\dfrac{6,3 \\times 4,2}{2}=13,23 \\text{ cm}^2[\/tex].<\/ul>\n<p>Assim, a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida de azul \u00e9:<br \/>\n[tex]\\qquad A_{\\text{azul }}=A_1+A_2+A_3[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad A_{\\text{azul }}=26,46+13,23+13,23[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A_{\\text{azul }}=52,92 \\text{ cm}^2$}[\/tex] .<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><strong>(b)<\/strong> Para justificar a afirma\u00e7\u00e3o de que o tri\u00e2ngulo colorido de amarelo \u00e9 is\u00f3sceles, devemos garantir que dois dos lados desse tri\u00e2ngulo t\u00eam o mesmo comprimento. Para facilitar, vamos denotar o tri\u00e2ngulo colorido de amarelo por tri\u00e2ngulo [tex]ABC.[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/prob258_8.png\" alt=\"\" width=\"257\" height=\"315\" class=\"alignleft size-full wp-image-118808\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/prob258_8.png 289w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/prob258_8-245x300.png 245w\" sizes=\"auto, (max-width: 257px) 100vw, 257px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li> Da figura ao lado, obtemos diretamente que o comprimento do lado [tex]\\overline{AC}[\/tex] \u00e9 [tex]\\boxed{12,6 \\text{ cm}} \\, .[\/tex]<\/li>\n<li> Os lados [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{BC}[\/tex] t\u00eam o mesmo comprimento, j\u00e1 que ambos os segmentos s\u00e3o hipotenusas de tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos de catetos com comprimentos [tex]6,3 \\text{ cm} \\, [\/tex] e [tex]8,4 \\text{ cm}.[\/tex] Veja que, mesmo sem calcular esse comprimento, j\u00e1 podemos garantir que [tex]ABC[\/tex] \u00e9 um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles; mas vamos faz\u00ea-lo para verificarmos se o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 apenas is\u00f3sceles ou \u00e9 equil\u00e1tero. Seja, ent\u00e3o, [tex]c[\/tex] o comprimento dos segmentos [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{BC}[\/tex]. Do Teorema de Pit\u00e1goras, segue que:<\/li>\n<p>[tex]\\qquad \\qquad c^2= 6,3^2+8,4^2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad c^2= 39,69+70,56[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad c^2= 110,25[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad c=\\pm \\sqrt{110,25}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad c=\\pm 10,5.[\/tex]<br \/>\nComo [tex]c[\/tex] \u00e9 um comprimento, temos que  [tex]\\boxed{c=10,5 \\text{ cm}} \\, [\/tex] e com isso conclu\u00edmos que [tex]ABC[\/tex] \u00e9 um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles, mas n\u00e3o equil\u00e1tero.\n<\/ul>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g3\">\nParticipou da discuss\u00e3o o Clube <strong>OCTETO MATEM\u00c1TICO<\/strong>.<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/\u00c1rea-azul.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ \u00c1rea azul.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio ) Em uma malha quadriculada, foi constru\u00eddo um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles colorido de amarelo e, sobre cada lado desse tri\u00e2ngulo, foram constru\u00eddos tri\u00e2ngulos coloridos de azul, conforme mostra a figura. 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