{"id":11878,"date":"2013-12-06T12:33:13","date_gmt":"2013-12-06T14:33:13","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=11878"},"modified":"2023-03-11T18:38:23","modified_gmt":"2023-03-11T21:38:23","slug":"probleminha-divisao-justa","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-divisao-justa\/","title":{"rendered":".Probleminha: Divis\u00e3o justa?"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nUma barra de chocolate PQRS<\/em> <\/strong> de forma retangular e espessura constante ser\u00e1 dividida em quatro peda\u00e7os por duas linhas retas, sendo que cada linha \u00e9 paralela a dois lados opostos da barra, a partir de um ponto da diagonal PR<\/em><\/strong> como mostra a figura.
\n\"\"
\nDepois de dividida a barra de chocolate, Eduardo e Diego escolheram, respectivamente, os peda\u00e7os A<\/em><\/strong> e B<\/em><\/strong>.
\n\"\"
\nQual dos dois pegou o peda\u00e7o maior e, portanto, com mais chocolate?<\/strong>
\nJustifique sua resposta.<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nOs ret\u00e2ngulos A<\/em> e B<\/em> t\u00eam a mesma \u00e1rea. <\/strong>
\nCom efeito, observe que:<\/p>\n
    \n
  • a diagonal PR<\/em><\/strong> divide o ret\u00e2ngulo PQRS<\/em> <\/strong> em duas metades;<\/li>\n
  • a mesma diagonal divide os ret\u00e2ngulos brancos ao meio. <\/li>\n<\/ul>\n

    Assim, a regi\u00e3o em branco acima da diagonal e a regi\u00e3o em branco abaixo da diagonal possuem a mesma \u00e1rea e, portanto, os ret\u00e2ngulos A<\/em><\/strong> e B<\/em><\/strong> t\u00eam \u00e1reas iguais.<\/p>\n

      – N\u00e3o conseguiu concluir essa igualdade de \u00e1reas?<\/strong><\/span>
      \nEnt\u00e3o, acompanhe os c\u00e1lculos a seguir.<\/p>\n
        Sejam [tex]a_A[\/tex], [tex]a_B[\/tex], [tex]a_C[\/tex], [tex]a_D[\/tex], [tex]a_E[\/tex] e [tex]a_F[\/tex], respectivamente, as \u00e1reas das regi\u00f5es A<\/em><\/strong>, B<\/em><\/strong>, C<\/em><\/strong>, D<\/em><\/strong>, E<\/em><\/strong> e F  <\/em><\/strong>indicadas na figura abaixo.
        \n\"\"<\/p>\n
          \n
        • A afirma\u00e7\u00e3o de que a diagonal PR<\/em><\/strong> divide o ret\u00e2ngulo PQRS<\/em> <\/strong> em duas metades nos garante que:
          \n[tex]\\qquad a_A+a_D+a_F=a_B+a_C+a_E.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/li>\n
        • Por outro lado, a afirma\u00e7\u00e3o de que a diagonal PR<\/em><\/strong> tamb\u00e9m divide os ret\u00e2ngulos brancos ao meio nos garante que:
          \n[tex]\\qquad a_E=a_F~[\/tex] e [tex]~ a_C=a_D.\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n

          Agora, substituindo as igualdades [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] no lado esquerdo da igualdade [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], segue que:
          \n[tex]\\qquad a_A+a_D+a_F=a_B+a_C+a_E\\\\
          \n\\qquad a_A+a_C+a_E=a_B+a_C+a_E\\\\
          \n\\qquad a_A+\\cancel{a_C}+a_E=a_B+\\cancel{a_C}+a_E\\\\
          \n\\qquad a_A+\\bcancel{a_E}=a_B+\\bcancel{a_E}\\\\
          \n\\qquad \\textcolor{#800000}{\\boxed{a_A=a_B}}\\,.[\/tex]<\/ul>\n<\/ul>\n

          \n

          Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

          \n

          \n

          Um applet para ilustrar<\/p>\n

          \nVoc\u00ea pode utilizar o aplicativo disponibilizado abaixo para visualizar a solu\u00e7\u00e3o do problema e, principalmente, observar que a igualdade das \u00e1reas dos ret\u00e2ngulos A<\/em> e B<\/em> independe da posi\u00e7\u00e3o do ponto da diagonal <\/strong> a partir do qual a barra de chocolate foi dividida.<\/p>\n

          Bom proveito!!!<\/strong><\/p>\n

          \n
          \n
          \n <\/p>\n
          \nNo applet abaixo, movimente o ponto D<\/strong> sobre a diagonal PR<\/em><\/strong> e observe que, para cada posi\u00e7\u00e3o de D<\/strong>, voc\u00ea visualizar\u00e1 as \u00e1reas dos ret\u00e2ngulos alaranjado e azul, que correspondem \u00e0s regi\u00f5es A<\/em><\/strong> e B<\/em><\/strong> da barra de chocolate do problema, e tamb\u00e9m os comprimentos dos respectivos lados desses ret\u00e2ngulos.
          \nInstru\u00e7\u00f5es<\/strong>:
          \n(1) Espere o applet carregar. (Ele pode demorar um pouquinho para carregar.)
          \n(2) Para movimentar o ponto D<\/strong>, clique sobre ele, mantenha o mouse pressionado e fa\u00e7a o movimento. (Se voc\u00ea estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto D<\/strong> e movimente-o.)<\/p>\n

          \n