{"id":11865,"date":"2013-12-06T12:08:32","date_gmt":"2013-12-06T14:08:32","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=11865"},"modified":"2025-06-24T02:14:48","modified_gmt":"2025-06-24T05:14:48","slug":"11865-2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/11865-2\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Jogo da velha"},"content":{"rendered":"<div style=\"border: 3px solid #800000; padding: 8px;text-align: justify; padding-left: 10px; padding-right: 10px; font-family: verdana; color: #616161; line-height: 25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nQuantas s\u00e3o as poss\u00edveis disposi\u00e7\u00f5es finais distintas em um &#8220;jogo da velha&#8221; iniciado com <strong>X<\/strong> e considerando que todos os espa\u00e7os estejam preenchidos?<br \/>\n<em>Observa\u00e7\u00e3o: N\u00e3o deve ser levada em considera\u00e7\u00e3o a ordem de preenchimento, assim como rota\u00e7\u00f5es do diagrama (considere-o fixo numa mesma posi\u00e7\u00e3o)<\/em><br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-10929 aligncenter \"alt=\"jogo da velha\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/10\/jogo-da-velha.jpg\" width=\"259\" height=\"194\" \/>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:25px; width:85%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"90\" height=\"108\" class=\"alignright size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\"> Ajuda<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><span style=\"font-size: 22px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span><strong>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong>: Se<\/p>\n<ul>\n<li>uma decis\u00e3o <strong>D1<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_1 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li> uma decis\u00e3o <strong>D2<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_2 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li> [tex]\\cdots[\/tex]<\/li>\n<li> uma decis\u00e3o <strong>Dk<\/strong> puder ser tomada de [tex]m_k [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li>e todas essas decis\u00f5es forem independentes entre si (isto \u00e9, a escolha de uma n\u00e3o muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),<\/li>\n<\/ul>\n<p> ent\u00e3o o n\u00famero total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[\/tex] decis\u00f5es \u00e9 igual ao produto<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1\\times m_2 \\times \\cdots \\times m_k}\\, .[\/tex]<br \/>\n<span style=\"font-size: 12px;\"> (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse  Princ\u00edpio, seria interessante dar uma passadinha <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=22162\" target=\"_blank\" title=\"Sala de Estudo: Princ\u00edpio Fundamental da Contagem\"> <strong>nesta Sala de Estudo<\/strong><\/a>.)<\/span>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div style=\"border: 3px  solid  #800000; padding: 8px;text-align: justify; padding-left: 10px; padding-right: 10px; font-family: verdana; color: #616161; line-height: 25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\"><strong>Solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Esse problema pode ser pensado, inicialmente, como se tiv\u00e9ssemos 9 elementos distintos para colocar sobre o diagrama (como um <em>Quadrado M\u00e1gico<\/em>, por exemplo, no qual os algarismos de 1 a 9 devem ser colocados sobre o diagrama).<br \/>\nNesse caso, ter\u00edamos para o primeiro elemento (ou n\u00famero, no caso do <em>Quadrado M\u00e1gico<\/em>) a ser colocado 9 possibilidades diferentes. Uma vez colocado o primeiro elemento, para o segundo, ter\u00edamos 8 possibilidades, de modo que para as primeiras duas coloca\u00e7\u00f5es ter\u00edamos 72 ([tex]9\\times 8[\/tex]) possibilidades. Para a terceira, restariam 7 op\u00e7\u00f5es, para a quarta, 6 op\u00e7\u00f5es e assim sucessivamente. Para o \u00faltimo elemento a ser colocado s\u00f3 haveria um \u00fanico espa\u00e7o dispon\u00edvel para ele.<\/p>\n<ul>\n<li>Sendo assim, o total de possibilidades de preenchimento para 9 elementos distintos \u00e9 [tex] 9\\times 8\\times 7\\times 6\\times 5\\times 4\\times 3\\times  2\\times 1[\/tex], produto que pode tamb\u00e9m ser denotado por [tex]9![\/tex] (nove fatorial ou fatorial de nove).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Entretanto, no caso do &#8220;jogo da velha&#8221;, os elementos se repetem (<strong>X<\/strong> aparece 5 vezes e <strong>O<\/strong> aparece 4 vezes). Deste modo, qualquer troca que fizermos entre quaisquer dois ou mais <strong>X<\/strong>&#8216;s (ou entre <strong>O<\/strong>&#8216;s), em um diagrama completo, n\u00e3o alterar\u00e1 sua configura\u00e7\u00e3o, j\u00e1 que s\u00e3o considerados elementos iguais (lembre-se de que n\u00e3o consideraremos a ordem de preenchimento).<br \/>\nMas quantas trocas entre os <strong>X<\/strong>&#8216;s e os <strong>O<\/strong>&#8216;s s\u00e3o poss\u00edveis em um em um &#8220;jogo da velha&#8221; completo? <\/p>\n<ul>\n<li> O <strong>X<\/strong> aparecer\u00e1 cinco vezes; assim, o primeiro deles a ser preenchido poderia ocupar qualquer uma das cinco posi\u00e7\u00f5es; o segundo, qualquer uma das quatro posi\u00e7\u00f5es restantes e assim por diante. Ent\u00e3o, temos [tex]5\\times 4\\times 3\\times 2\\times 1=5![\/tex] trocas (ou permuta\u00e7\u00f5es) poss\u00edveis entre os  <strong>X<\/strong>&#8216;s que, na verdade, definem uma mesma configura\u00e7\u00e3o final. <\/li>\n<li>Da mesma forma, para as trocas entre <strong>O<\/strong>&#8216;s ter\u00edamos [tex]4![\/tex] permuta\u00e7\u00f5es correspondentes. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Com isso, para cada configura\u00e7\u00e3o final estabelecida para o <em>Jogo da Velha<\/em>, existem [tex]5!\\times 4![\/tex] configura\u00e7\u00f5es iguais (incluindo ela pr\u00f3pria).<br \/>\n&nbsp;<br \/>\nDeste modo, devemos dividir o valor inicial [tex]9![\/tex] por todas essas repeti\u00e7\u00f5es poss\u00edveis, ou seja, como resultado final teremos [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \\dfrac{9!}{5!\\times 4!}=126$}[\/tex] maneiras diferentes de disposi\u00e7\u00f5es finais do jogo da velha (considerando o tabuleiro com posi\u00e7\u00e3o fixa).<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong> Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Quantas s\u00e3o as poss\u00edveis disposi\u00e7\u00f5es finais distintas em um &#8220;jogo da velha&#8221; iniciado com X e considerando que todos os espa\u00e7os estejam preenchidos? Observa\u00e7\u00e3o: N\u00e3o deve ser levada em considera\u00e7\u00e3o a ordem de preenchimento, assim como rota\u00e7\u00f5es do diagrama (considere-o fixo numa mesma posi\u00e7\u00e3o) Ajuda &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/11865-2\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":165,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-11865","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/11865","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/165"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=11865"}],"version-history":[{"count":27,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/11865\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":226046,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/11865\/revisions\/226046"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=11865"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}