{"id":117517,"date":"2018-12-02T03:52:25","date_gmt":"2018-12-02T05:52:25","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=117517"},"modified":"2024-06-07T20:07:02","modified_gmt":"2024-06-07T23:07:02","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-todas-as-diferencas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-todas-as-diferencas\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Todas as diferen\u00e7as"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n(Um C\u00edrculo Matem\u00e1tico de Moscou<\/strong> – Adaptado) Amanda escolheu onze n\u00fameros naturais e, dois a dois, calculou todas as diferen\u00e7as poss\u00edveis entre esses n\u00fameros.
\n\u00c9 poss\u00edvel garantir que Amanda tenha encontrado alguma diferen\u00e7a divis\u00edvel por [tex]5[\/tex]?
\nE por [tex]10[\/tex]?<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n\"explicador_p\"<\/p>\n

💡 <\/span> Ajuda para as Solu\u00e7\u00f5es 1 e 2 💡 <\/span><\/p>\n

Princ\u00edpio das casas de pombos:<\/strong> Se tivermos [tex]n+1[\/tex] pombos para serem colocados em [tex]n[\/tex] casas, ent\u00e3o pelo menos uma casa dever\u00e1 conter mais de um pombo. <\/p>\n

(Se voc\u00ea n\u00e3o conhece esse Princ\u00edpio, clique AQUI<\/strong><\/a>.)<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\nO \u00faltimo algarismo de qualquer n\u00famero natural \u00e9 [tex] 0, \\, 1, \\, 2, \\, 3, \\, 4, \\, 5, \\, 6, \\, 7, \\, 8 \\, [\/tex] ou [tex] \\, 9[\/tex], ou seja, s\u00e3o dez possibilidades. Assim, como Amanda escolheu onze n\u00fameros, na pior das hip\u00f3teses, dois deles terminam com o mesmo algarismo. Essa afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 bastante intuitiva, mas \u00e9 garantida matematicamente pelo Princ\u00edpio das casas de pombos: temos [tex]10[\/tex] algarismos finais (casas) para serem associados a [tex]11[\/tex] n\u00fameros (pombos); ent\u00e3o pelo menos um algarismo final dever\u00e1 ser associado a mais de um n\u00famero.
\nDessa forma, a diferen\u00e7a de dois dos n\u00fameros que t\u00eam o mesmo algarismo final ser\u00e1 um n\u00famero que termina em zero:
\n[tex] \\qquad \\qquad a_1a_2\\cdots \\textcolor{red}{u}-b_1b_2\\cdots \\textcolor{red}{u}=c_1c_2\\cdots \\textcolor{red}{0} \\, .[\/tex]
\nBom, um n\u00famero que termina em zero \u00e9 divis\u00edvel por [tex]10[\/tex] e, consequentemente, por [tex]5[\/tex]. Assim, Amanda com certeza encontrou pelo menos uma diferen\u00e7a divis\u00edvel por [tex]5[\/tex] e por [tex]10.[\/tex]<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n\"explicador_p\"<\/p>\n

💡 <\/span> Ajuda para a Solu\u00e7\u00e3o 2 💡 <\/span><\/p>\n

Sejam [tex]n[\/tex] e [tex]a[\/tex] n\u00fameros naturais, com [tex]a\\ne 0.[\/tex]
\nO que acontece com o quociente e o resto da divis\u00e3o de [tex]n[\/tex] por [tex]a[\/tex]?<\/strong> <\/p>\n

\n

Observemos…<\/p>\n\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\nn \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, a \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\nr
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\, \\, \\, q
\n\\end{array}\\qquad \\qquad[\/tex]<\/td>\n		\nAo dividirmos [tex]n[\/tex] por [tex]a[\/tex] encontraremos um quociente [tex]q [\/tex] e um resto [tex]r [\/tex], naturais e \u00fanicos, tais que:
\n [tex] \\, \\, \\, (1) \\, \\, 0 \\le r \\lt a \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, [\/tex] [tex](2) \\, \\, n=q \\times a+r[\/tex].<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nEmbora seja poss\u00edvel resolver os itens (a)<\/strong> e (b)<\/strong> simultaneamente, vamos resolv\u00ea-los separadamente para refor\u00e7ar o racioc\u00ednio que utilizaremos. <\/p>\n