{"id":11741,"date":"2013-11-25T12:55:59","date_gmt":"2013-11-25T14:55:59","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=11741"},"modified":"2025-06-24T02:09:34","modified_gmt":"2025-06-24T05:09:34","slug":"desafio-hotel-de-hilbert","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-hotel-de-hilbert\/","title":{"rendered":".Desafio: Hotel de Hilbert"},"content":{"rendered":"<div style=\"border: 3px solid #800000; padding: 10px; padding-right: 15px; padding-left: 15px; font-family: verdana; color: #616161; line-height: 25px; text-align: justify;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nO <em><strong>Hotel de Hilbert<\/strong><\/em> \u00e9 um famoso hotel que nunca deixou um viajante sem quarto!<br \/>\nIsso ocorre pois o hotel tem infinitos quartos e um engenhoso gerente.<br \/>\nTodos os quartos desse hotel s\u00e3o iguais e s\u00f3 \u00e9 permitido hospedar um h\u00f3spede em cada quarto. Al\u00e9m disso, os quartos do hotel s\u00e3o numerados utilizando-se n\u00fameros inteiros positivos ([tex]1,~2,~3,~4,\\ldots~[\/tex]).<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n[tex]\\textcolor{red}{\\bullet}[\/tex] Num certo dia, o <em><strong>Hotel de Hilbert<\/strong><\/em> estava  com infinitos h\u00f3spedes e um turista, que n\u00e3o tinha feito reserva, chegou ao hotel e solicitou um quarto. N\u00e3o sabendo como proceder, o recepcionista chamou o gerente.<br \/>\nO gerente solicitou que cada h\u00f3spede sa\u00edsse do quarto em que estava e fosse para o quarto de numera\u00e7\u00e3o seguinte; ou seja, se um h\u00f3spede estava no quarto de n\u00famero [tex]n[\/tex], ele iria para o quarto [tex]n+1[\/tex]. Por exemplo, se denotarmos por [tex]Q(n)[\/tex] o n\u00famero do quarto para onde iria o h\u00f3spede que anteriormente estava no quarto [tex]n[\/tex], ent\u00e3o:<br \/>\n<span style=\"color: red\">[tex]\\qquad Q(1)=2[\/tex]; [tex]Q(2)=3[\/tex]; [tex]Q(3)=4[\/tex]; [tex]Q(4)=5[\/tex]; [tex]Q(5)=6[\/tex]; [tex]Q(6)=7[\/tex]; [tex]Q(7)=8[\/tex]; [tex].~.~.~[\/tex]; [tex]Q(n)=n+1[\/tex]<\/span>.<br \/>\nDessa forma, o turista rec\u00e9m chegado p\u00f4de ser alojado no quarto <strong>n\u00famero 1<\/strong>.<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n[tex]\\textcolor{blue}{\\bullet}[\/tex] Em uma outra ocasi\u00e3o, chegou ao <em><strong>Hotel de Hilbert<\/strong><\/em> um \u00f4nibus com infinitos passageiros e o hotel j\u00e1 estava com infinitos h\u00f3spedes. Novamente o gerente foi requisitado para solucionar tamanho desafio!<br \/>\nDesta vez, o gerente solicitou que cada h\u00f3spede sa\u00edsse do quarto em que estava e fosse para o quarto com numera\u00e7\u00e3o igual ao dobro da numera\u00e7\u00e3o do quarto que ele ocupava at\u00e9 aquele momento. Assim, se um h\u00f3spede estivesse no quarto [tex]n[\/tex], ele passaria a ocupar o quarto [tex]2n[\/tex]. Por exemplo,<br \/>\n<span style=\"color: blue\">[tex]\\qquad Q(1)=2[\/tex]; [tex]Q(2)=4[\/tex]; [tex]Q(3)=6[\/tex]; [tex]Q(4)=8[\/tex]; [tex]Q(5)=10[\/tex]; [tex]Q(6)=12[\/tex]; [tex]Q(7)=14[\/tex]; [tex].~.~.~[\/tex]; [tex]Q(n)=2n[\/tex]<\/span>.<br \/>\nCom isso, ficaram desocupados todos os quartos de numera\u00e7\u00e3o \u00edmpar, suficientes para alojar os passageiros do \u00f4nibus, j\u00e1 que o passageiro da poltrona [tex]n[\/tex] iria para o quarto [tex]2n-1[\/tex].<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n[tex]\\textcolor{green}{\\bullet}[\/tex] Neste momento, chegam ao <em><strong>Hotel de Hilbert<\/strong><\/em>, que mais uma vez est\u00e1 com infinitos h\u00f3spedes, infinitos \u00f4nibus com infinitos passageiros.<br \/>\n<strong>Como deve agir o gerente do hotel para alojar todos esses viajantes e manter a tradi\u00e7\u00e3o do hotel de &#8220;nunca deixar um viajante sem quarto&#8221;?<\/strong><\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 3px solid #800000; padding: 10px; padding-right: 10px; padding-left: 10px; font-family: verdana; color: #616161; line-height: 25px; text-align: justify;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/strong><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nNa solu\u00e7\u00e3o deste problema, denotaremos por [tex]P_n[\/tex] o &#8220;en\u00e9simo n\u00famero primo&#8221;. Assim, por exemplo,<br \/>\n[tex]\\qquad P_1=2[\/tex], [tex]P_2=3[\/tex], [tex]P_3=5[\/tex], [tex]P_4=7[\/tex], [tex]P_5=11[\/tex], [tex]P_6=13[\/tex], [tex]P_7=17[\/tex], [tex]P_8=19[\/tex],<br \/>\ne assim sucessivamente.<br \/>\nVamos, ent\u00e3o, \u00e0 solu\u00e7\u00e3o:<br \/>\nPara acomodar todos os infinitos passageiros dos infinitos \u00f4nibus, podemos passar os h\u00f3spedes do quarto [tex]n[\/tex] para o quarto [tex]P_n[\/tex] e, em seguida, podemos colocar o passageiro  da poltrona [tex]m[\/tex] do \u00f4nibus [tex]n[\/tex] no quarto [tex]\\left(P_n\\right)^{m+1}[\/tex]. Assim, por exemplo:<\/p>\n<table style=\"border: 0px solid #ffffff; height:auto; text-align:center; margin-left:auto; margin-right:auto;\">\n<tr style=\"border: 0px solid #ffffff;\">\n<td style=\"border: 0px solid #ffffff;\">Pessoas j\u00e1 hospedadas:<br \/>\n[tex]\\textcolor{#5CB3FF}{Q(1)=P_1=2\\\\<br \/>\nQ(2)=P_2=3\\\\<br \/>\nQ(3)=P_3=5\\\\<br \/>\nQ(4)=P_4=7\\\\<br \/>\nQ(5)=P_5=11\\\\<br \/>\nQ(6)=P_6=13\\\\<br \/>\n.~.~.~\\\\<br \/>\nQ(n)=P_n}[\/tex]\n<\/td>\n<td style=\"border: 0px solid #ffffff;\">Passageiros do \u00f4nibus 1:<br \/>\n[tex]\\textcolor{#5CB3FF}{\\text{poltrona 1}\\mapsto \\text{quarto}~2^2\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~2\\mapsto \\text{quarto }2^3\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~3\\mapsto \\text{quarto }2^4\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~4\\mapsto \\text{quarto }2^5\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~5\\mapsto  \\text{quarto }2^6\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~6\\mapsto  \\text{quarto }2^7\\\\<br \/>\n\\qquad .~.~.~\\\\<br \/>\npoltrona~m\\mapsto  \\text{quarto }\\left(P_1\\right)^{m+1}}[\/tex]\n<\/td>\n<td style=\"border: 0px solid #ffffff;\">Passageiros do \u00f4nibus 2:<br \/>\n[tex]\\textcolor{#5CB3FF}{\\text{poltrona 1}\\mapsto \\text{quarto}~3^2\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~2\\mapsto \\text{quarto }3^3\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~3\\mapsto \\text{quarto }3^4\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~4\\mapsto \\text{quarto }3^5\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~5\\mapsto  \\text{quarto }3^6\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~6\\mapsto  \\text{quarto }3^7\\\\<br \/>\n\\qquad .~.~.~\\\\<br \/>\npoltrona~m\\mapsto  \\text{quarto }\\left(P_2\\right)^{m+1}}[\/tex]\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Passageiros do \u00f4nibus 3:<br \/>\n[tex]\\textcolor{#5CB3FF}{\\text{poltrona 1}\\mapsto \\text{quarto}~5^2\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~2\\mapsto \\text{quarto }5^3\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~3\\mapsto \\text{quarto }5^4\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~4\\mapsto \\text{quarto }5^5\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~5\\mapsto  \\text{quarto }5^6\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~6\\mapsto  \\text{quarto }5^7\\\\<br \/>\n\\qquad .~.~.~\\\\<br \/>\npoltrona~m\\mapsto  \\text{quarto }\\left(P_3\\right)^{m+1}}[\/tex]\n<\/td>\n<td>Passageiros do \u00f4nibus 4:<br \/>\n[tex]\\textcolor{#5CB3FF}{\\text{poltrona 1}\\mapsto \\text{quarto}~7^2\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~2\\mapsto \\text{quarto }7^3\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~3\\mapsto \\text{quarto }7^4\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~4\\mapsto \\text{quarto }7^5\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~5\\mapsto  \\text{quarto }7^6\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~6\\mapsto  \\text{quarto }7^7\\\\<br \/>\n\\qquad .~.~.~\\\\<br \/>\npoltrona~m\\mapsto  \\text{quarto }\\left(P_4\\right)^{m+1}}[\/tex]\n<\/td>\n<td>Passageiros do \u00f4nibus 5:<br \/>\n[tex]\\textcolor{#5CB3FF}{\\text{poltrona 1}\\mapsto \\text{quarto}~11^2\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~2\\mapsto \\text{quarto }11^3\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~3\\mapsto \\text{quarto }11^4\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~4\\mapsto \\text{quarto }11^5\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~5\\mapsto  \\text{quarto }11^6\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~6\\mapsto  \\text{quarto }11^7\\\\<br \/>\n\\qquad .~.~.~\\\\<br \/>\npoltrona~m\\mapsto  \\text{quarto }\\left(P_5\\right)^{m+1}}[\/tex]\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Passageiros do \u00f4nibus 6:<br \/>\n[tex]\\textcolor{#5CB3FF}{\\text{poltrona 1}\\mapsto \\text{quarto}~13^2\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~2\\mapsto \\text{quarto }13^3\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~3\\mapsto \\text{quarto }13^4\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~4\\mapsto \\text{quarto }13^5\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~5\\mapsto  \\text{quarto }13^6\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~6\\mapsto  \\text{quarto }13^7\\\\<br \/>\n\\qquad .~.~.~\\\\<br \/>\npoltrona~m\\mapsto  \\text{quarto }\\left(P_6\\right)^{m+1}}[\/tex]\n<\/td>\n<td>Passageiros do \u00f4nibus 7:<br \/>\n[tex]\\textcolor{#5CB3FF}{\\text{poltrona 1}\\mapsto \\text{quarto}~17^2\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~2\\mapsto \\text{quarto }17^3\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~3\\mapsto \\text{quarto }17^4\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~4\\mapsto \\text{quarto }17^5\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~5\\mapsto  \\text{quarto }17^6\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~6\\mapsto  \\text{quarto }17^7\\\\<br \/>\n\\qquad .~.~.~\\\\<br \/>\npoltrona~m\\mapsto  \\text{quarto }\\left(P_7\\right)^{m+1}}[\/tex]\n<\/td>\n<td>Passageiros do \u00f4nibus 8:<br \/>\n[tex]\\textcolor{#5CB3FF}{\\text{poltrona 1}\\mapsto \\text{quarto}~19^2\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~2\\mapsto \\text{quarto }19^3\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~3\\mapsto \\text{quarto }19^4\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~4\\mapsto \\text{quarto }19^5\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~5\\mapsto  \\text{quarto }19^6\\\\<br \/>\n\\text{poltrona}~6\\mapsto  \\text{quarto }19^7\\\\<br \/>\n\\qquad .~.~.~\\\\<br \/>\npoltrona~m\\mapsto  \\text{quarto }\\left(P_8\\right)^{m+1}}[\/tex]\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"border: 0px solid #ffffff;\">\n<td style=\"border: 0px solid #ffffff;\">etc. [tex].~.~.~[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>Observe que ter\u00edamos, ent\u00e3o, todos os h\u00f3spedes e passageiros alojados e ainda sobrariam os infinitos quartos cujas numera\u00e7\u00f5es ao serem fatoradas apresentam mais de um fator primo; al\u00e9m, claro, do quarto n\u00famero 1.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong> Moderadores do Blog<\/strong><\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 3px solid #800000; padding: 10px; padding-right: 15px; padding-left: 15px; font-family: verdana; color: #616161; line-height: 25px; text-align: justify;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/strong><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nO v\u00eddeo abaixo apresenta uma segunda solu\u00e7\u00e3o para o problema, al\u00e9m da encena\u00e7\u00e3o das duas situa\u00e7\u00f5es iniciais citadas no enunciado. Vale a penas assistir!<\/p>\n<p class=\"ti2\" style=\"margin:20px;\">\u00c9 s\u00f3 clicar na telinha&#8230;<br \/>\nBom proveito!<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align:center\"><iframe loading=\"lazy\" width=\"700\" height=\"440\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/pjOVHzy_DVU?rel=0\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<p style=\"text-align: right; color: #8b3a3a;  font-size: 12px;\">\n<u>Observa\u00e7\u00e3o<\/u>: Dependendo da velocidade de sua conex\u00e3o, o v\u00eddeo pode demorar a carregar&#8230;<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong> Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 1px solid #616161; padding: 8px;\">\n<p style=\"text-align: justify;\"><span style=\"font-family: verdana; color: #616161;\"> Participaram da discuss\u00e3o do problema os Clubes: <strong>  Math Error<\/strong>; <span style=\" color: #8B8682;\"> <strong>Os Pitag\u00f3ricos. <\/strong><\/span><\/span><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.) O Hotel de Hilbert \u00e9 um famoso hotel que nunca deixou um viajante sem quarto! Isso ocorre pois o hotel tem infinitos quartos e um engenhoso gerente. Todos os quartos desse hotel s\u00e3o iguais e s\u00f3 \u00e9 permitido hospedar um h\u00f3spede em cada quarto. Al\u00e9m &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-hotel-de-hilbert\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":179,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-11741","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/11741","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/179"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=11741"}],"version-history":[{"count":42,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/11741\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":226044,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/11741\/revisions\/226044"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=11741"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}