![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
Lembretes e nota\u00e7\u00e3o<\/p>\n
\n
(1)<\/strong><\/span> Se um tri\u00e2ngulo inscrito \u00e0 uma circunfer\u00eancia possui um dos lados como di\u00e2metro, ent\u00e3o esse tri\u00e2ngulo \u00e9 ret\u00e2ngulo.
\n(2)<\/strong><\/span> A mediana de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com extremidade no v\u00e9rtice do \u00e2ngulo reto mede a metade da hipotenusa.
\n(3)<\/strong><\/span> Todo tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles possui os lados adjacentes \u00e0 base congruentes e \u00e2ngulos da base com mesma medida.
\n(4)<\/strong><\/span> Se um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles possui um \u00e2ngulo interno medindo [tex]60^\\circ[\/tex], ent\u00e3o esse tri\u00e2ngulo \u00e9 equil\u00e1tero.
\n(5)<\/strong><\/span> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex].
\n(6)<\/strong><\/span> Nota\u00e7\u00e3o:<\/strong> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex], por [tex]AB[\/tex] e o seu comprimento por [tex]\\overline{AB}[\/tex].<\/p>\n\n<\/div>\n
\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n
\n
\n- Como [tex]M[\/tex] \u00e9 ponto m\u00e9dio do segmento [tex]BC[\/tex], construindo a circunfer\u00eancia de centro [tex]M[\/tex] e raio de comprimento [tex] \\overline{MC}[\/tex], podemos garantir que o ponto [tex]B[\/tex] tamb\u00e9m pertence a essa circunfer\u00eancia.<\/li>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/11\/XSolu\u00e7\u00e3o-1.jpg\")
<\/p>\n
- Podemos, ent\u00e3o, prolongar o segmento [tex]AB[\/tex], interceptando a circunfer\u00eancia em um ponto [tex]F[\/tex]. Pelo Lembrete 1<\/strong>, o tri\u00e2ngulo [tex]BFC[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo em [tex]F[\/tex].<\/li>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/11\/XSolu\u00e7\u00e3o-2.jpg\")
<\/p>\n
- De acordo com o Lembrete 2<\/strong>, a mediana [tex]FM[\/tex] do tri\u00e2ngulo [tex]BCF[\/tex] \u00e9 congruente aos segmentos [tex]MB[\/tex] e [tex]MC[\/tex]. Com isso, podemos construir dois tri\u00e2ngulos is\u00f3sceles [tex]FMB[\/tex] e [tex]FMC[\/tex]. Pelo Lembrete 3<\/strong>, obtemos que a medida do \u00e2ngulo [tex]B\\hat{F}M[\/tex] \u00e9 [tex]30^\\circ[\/tex] e, consequentemente, a medida do \u00e2ngulo [tex]M\\hat{F}C[\/tex] \u00e9 [tex]90^\\circ-30^\\circ=60^\\circ[\/tex].<\/li>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/11\/XSolu\u00e7\u00e3o-3.jpg\")
<\/p>\n
- Agora, pelo fato de o tri\u00e2ngulo [tex]FMC[\/tex] ser is\u00f3sceles e possuir um \u00e2ngulo medindo [tex]60^\\circ[\/tex], pelo Lembrete 4<\/strong>, garantimos que ele \u00e9 um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero. Portanto, o segmento [tex]FC[\/tex] \u00e9 congruente aos segmentos [tex]FM[\/tex] e [tex]CM[\/tex] e o \u00e2ngulo [tex]F\\hat{C}A[\/tex] tem medida [tex]60^\\circ-15^\\circ=45^\\circ.[\/tex]<\/li>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/XSolu\u00e7\u00e3o-4.jpg\")
<\/p>\n
- Vamos analisar agora o tri\u00e2ngulo [tex]FAC[\/tex]. Pelo Lembrete 5<\/strong>, conclu\u00edmos que o \u00e2ngulo [tex]F\\hat{A}C[\/tex] mede [tex]180^\\circ-90^\\circ-45=45^\\circ[\/tex]. Portanto, o tri\u00e2ngulo \u00e9 is\u00f3sceles, com [tex]FA[\/tex] congruente a [tex]FC[\/tex].<\/li>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/XSolu\u00e7\u00e3o-5.jpg\")
<\/p>\n
- Para finalizar, note que o tri\u00e2ngulo [tex]FAM[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 is\u00f3sceles. Novamente, pelo Lembrete 3<\/strong>, conclu\u00edmos que o \u00e2ngulo [tex]F\\hat{A}M[\/tex] possui a mesma medida que o \u00e2ngulo [tex]F\\hat{M}A[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/XSolu\u00e7\u00e3o-6.jpg\")
<\/p>\n
Finalmente, utilizando o Lembrete 5<\/strong> no tri\u00e2ngulo [tex]FAM[\/tex], temos que [tex]\\boxed{\\left(x+45^\\circ\\right)+\\left(x+45^\\circ\\right) +30^\\circ=180^\\circ}[\/tex], donde conclu\u00edmos que [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ x=30^\\circ$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Determine o valor do \u00e2ngulo [tex]x[\/tex], sabendo que [tex]M[\/tex] \u00e9 ponto m\u00e9dio do segmento [tex]BC[\/tex]. Lembretes e nota\u00e7\u00e3o (1) Se um tri\u00e2ngulo inscrito \u00e0 uma circunfer\u00eancia possui um dos lados como di\u00e2metro, ent\u00e3o esse tri\u00e2ngulo \u00e9 ret\u00e2ngulo. (2) A mediana de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com … <\/p>\n
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