{"id":11712,"date":"2013-11-23T01:17:28","date_gmt":"2013-11-23T03:17:28","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=11712"},"modified":"2023-01-21T23:36:49","modified_gmt":"2023-01-22T02:36:49","slug":"problemao-esfera-inscrita","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-esfera-inscrita\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Esfera inscrita"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\n

Qual o raio da esfera inscrita num tetraedro regular de aresta a<\/em> <\/span> ?<\/span><\/p>\n

<\/center><\/div>\n

\n

\n

Lembretes<\/p>\n

\n

✐ <\/span>Volume de uma pir\u00e2mide qualquer:
\n[tex]\\qquad V_p=\\dfrac{\\text{\u00c1rea da base}\\times \\text{Altura}}{3}=\\dfrac{1}3\\times \\text{\u00c1rea da base}\\times \\text{Altura}~.[\/tex]<\/p>\n\n\n\n
✐ <\/span>Volume de uma pir\u00e2mide triangular (tetraedro), cuja base \u00e9 um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero:
\n[tex]\\qquad V_t=\\dfrac{1}3\\times \\text{\u00c1rea da base}\\times \\text{Altura}\\\\
\n\\qquad V_t=\\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4} \\times h~.[\/tex]<\/td>\n		<\/td>\n<\/tr>\n
✐ <\/span>Volume de um tetraedro regular:
\n[tex]\\qquad V_{tr}=\\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4} \\times h\\\\
\n\\qquad V_{tr}=\\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4} \\times \\left(\\dfrac{a\\, \\sqrt{6}}{3} \\right)\\\\
\n\\qquad V_{tr}=\\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{a^3 \\sqrt{2}}{4}\\\\
\n\\qquad V_{tr}=\\dfrac{a^3 \\sqrt{2}}{12}~.[\/tex]<\/td>\n		\"\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span><\/p>\n

\nConsideremos o tetraedro regular [tex]ABCD[\/tex] exibido na imagem a seguir, juntamente com esfera nele inscrita cujo centro \u00e9 o ponto [tex]O[\/tex] e cujo raio mede [tex]r[\/tex].<\/p>\n

\n

\"\"
\nSe tra\u00e7armos segmentos com extremidades no centro da esfera e nos v\u00e9rtices do tetraedro, dividiremos o tetraedro [tex]ABCD[\/tex] em quatro tetraedros que possuem como base um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero de lado [tex]a[\/tex] e como altura o raio [tex]r[\/tex] da esfera.
\n\"\"<\/p>\n

Como a soma dos volumes dos tetraedros originados \u00e9 igual ao volume do tetraedro inicial, segue que:
\n 
\n[tex]\\qquad 4 \\cdot V_t=V_{tr}\\\\
\n\\qquad 4 \\cdot \\dfrac{1}{3} \\cdot \\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4} \\cdot r = \\dfrac{a^3 \\sqrt{2}}{12}\\\\
\n\\qquad r = \\dfrac{a^3 \\sqrt{2}}{12} \\cdot \\dfrac{3}{a^2 \\sqrt{3}}\\\\
\n\\qquad \\boxed{r = \\dfrac{a \\sqrt{6}}{12}~}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n
\nPara visualizar em tamanho maior os quatro tetraedros constru\u00eddos a partir do centro da esfera inscrita, clique no bot\u00e3o abaixo.<\/p>\n
\n<\/p>\n
\n\"\"<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.) Qual o raio da esfera inscrita num tetraedro regular de aresta a ? Lembretes ✐ Volume de uma pir\u00e2mide qualquer: [tex]\\qquad V_p=\\dfrac{\\text{\u00c1rea da base}\\times \\text{Altura}}{3}=\\dfrac{1}3\\times \\text{\u00c1rea da base}\\times \\text{Altura}~.[\/tex] ✐ Volume de uma pir\u00e2mide triangular (tetraedro), cuja base \u00e9 um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero: [tex]\\qquad V_t=\\dfrac{1}3\\times \\text{\u00c1rea … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":179,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-11712","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/11712","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/179"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=11712"}],"version-history":[{"count":34,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/11712\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":183316,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/11712\/revisions\/183316"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=11712"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}