Problema (Unesp <\/strong> – Adaptado) Uma empresa oferece frete gratuito para entregas do seu produto em um raio de at\u00e9 [tex]30\\ km[\/tex] do dep\u00f3sito. Para a dist\u00e2ncia que ultrapassar [tex]30\\ km[\/tex], medida em linha reta desde o dep\u00f3sito, a empresa cobra [tex]R\\$\\, 10,00[\/tex] por cada quil\u00f4metro que ultrapasse os [tex]30\\ km[\/tex] iniciais gratuitos. Essa cobran\u00e7a tamb\u00e9m \u00e9 feita de forma proporcional em caso de fra\u00e7\u00f5es de quil\u00f4metros. \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n A partir de um plano cartesiano, podemos interpretar a regi\u00e3o em que o frete \u00e9 gratuito como um c\u00edrculo de raio [tex]30[\/tex] centrado no dep\u00f3sito e considerar o dep\u00f3sito como o ponto de coordenadas [tex](0,0)[\/tex] desse plano cartesiano, conforme mostra a pr\u00f3xima imagem. \n \n (a)<\/strong> Seja [tex]P=(x_P,y_P)[\/tex] o ponto correspondente \u00e0 localiza\u00e7\u00e3o da resid\u00eancia do cliente em quest\u00e3o.<\/p>\n De posse dessas tr\u00eas informa\u00e7\u00f5es, concluirmos que o maior valor para [tex]y[\/tex] \u00e9 obtido quando a localiza\u00e7\u00e3o da resid\u00eancia do cliente no plano cartesiano est\u00e1 na interse\u00e7\u00e3o da circunfer\u00eancia de raio [tex]30[\/tex] com a reta [tex]r[\/tex], ou seja, no ponto [tex]P[\/tex] da figura a seguir.<\/p>\n \n Veja que, algebricamente, obtemos os seguintes valores de [tex]y_P[\/tex] para pontos localizados [tex]25\\ km[\/tex] a oeste, sobre a reta vertical [tex]x=-25 \\, [\/tex] e a [tex]30\\ km[\/tex] de dist\u00e2ncia do dep\u00f3sito: Como estamos buscando o ponto que esteja [tex]y\\ km[\/tex] ao sul, o ponto [tex]P[\/tex] tem coordenadas [tex](-25,-5\\sqrt{11})[\/tex], mas o valor m\u00e1ximo de [tex]y[\/tex] \u00e9: (b)<\/strong> Observe que a dist\u00e2ncia do ponto [tex](-25,-y)[\/tex] ao dep\u00f3sito centrado na origem \u00e9 dada por [tex]d=\\sqrt{25^2+y^2}[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Uma segunda solu\u00e7\u00e3o para o item (a)<\/p>\n Se voc\u00ea ainda n\u00e3o aprendeu o que \u00e9 um plano cartesiano, n\u00e3o faz mal, veja uma segunda solu\u00e7\u00e3o para o item (a)<\/strong>. [tex]d=\\sqrt{25^2+y^2}=\\sqrt{625+y^2} \\, km[\/tex] do dep\u00f3sito,<\/p>\n conforme ilustra a figura a seguir.<\/p>\n Como a empresa oferece frete gratuito para entregas do seu produto em um raio de at\u00e9 [tex]30\\ km[\/tex] do dep\u00f3sito, para que o consumidor C<\/strong> tenha isen\u00e7\u00e3o de frete \u00e9 necess\u00e1rio [tex]d \\leq 30[\/tex]. Assim, segue que: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.) (Unesp – Adaptado) Uma empresa oferece frete gratuito para entregas do seu produto em um raio de at\u00e9 [tex]30\\ km[\/tex] do dep\u00f3sito. Para a dist\u00e2ncia que ultrapassar [tex]30\\ km[\/tex], medida em linha reta desde o dep\u00f3sito, a empresa cobra [tex]R\\$\\, 10,00[\/tex] por cada quil\u00f4metro que … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n
\nUm certo consumidor do produto reside [tex]25\\ km[\/tex] a oeste do dep\u00f3sito e [tex] y[\/tex] [tex]km[\/tex] ao sul.
\n(a)<\/strong> Determine o valor m\u00e1ximo de [tex]y[\/tex] para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na entrega do produto em sua resid\u00eancia.
\n(b)<\/strong> Determine o custo do frete [tex]C[\/tex] (em reais) para esse consumidor, em fun\u00e7\u00e3o de [tex]y[\/tex], para o caso em que [tex]C(y)\\neq0[\/tex].<\/p>\n
\n
\nAssim, para um cliente n\u00e3o pagar frete, as coordenadas do ponto [tex](x,y)[\/tex] que correspondem \u00e0 sua localiza\u00e7\u00e3o devem satisfazer a condi\u00e7\u00e3o [tex]x^2+y^2\\le 30^2[\/tex], o que equivale a dizer que o ponto [tex](x,y)[\/tex] est\u00e1 no disco de raio [tex]30[\/tex] e centro [tex](0,0)[\/tex].<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/juliana6.png\")
<\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/juliana7.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad (-25)^2+(y_P)^2= 30^2[\/tex]
\n[tex]\\qquad y_P^2= 900-625[\/tex]
\n[tex]\\qquad y_P^2= 275[\/tex].
\n[tex]\\qquad y_P =\\pm 5\\sqrt{11} [\/tex].<\/p>\n
\n [tex]\\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y = 5\\sqrt{11}\\ km \\, $} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\nComo o custo \u00e9 de [tex]R\\$10,00[\/tex] por quil\u00f4metro excedido de [tex] 30[\/tex], temos que, para o consumidor em quest\u00e3o, a fun\u00e7\u00e3o custo definida para valores [tex] y \\gt 5\\sqrt{11}[\/tex] \u00e9 dada por:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$C(y)=10\\times(\\sqrt{25^2+y^2}-30)$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n
\n
\nO consumidor em quest\u00e3o (C<\/strong>) reside [tex]25\\ km[\/tex] a oeste do dep\u00f3sito (D<\/strong>) e [tex] y \\, km[\/tex] ao sul, logo est\u00e1 a uma dist\u00e2ncia de <\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/11\/buss_03.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad d \\leq 30[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\sqrt{625+y^2} \\leq 30[\/tex]
\n[tex]\\qquad 625+y^2 \\leq 900[\/tex]
\n[tex]\\qquad y^2 \\leq 900-625[\/tex]
\n[tex]\\qquad y^2 \\leq 275[\/tex]
\ne como [tex] y [\/tex] \u00e9 uma dist\u00e2ncia, temos que [tex]0 \\leq y \\leq 5\\sqrt{11} [\/tex].
\nDessa forma, o valor m\u00e1ximo de [tex] y [\/tex] para que o cliente tenha frete gratuito \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y = 5\\sqrt{11}\\ km \\, $} \\, .[\/tex]<\/p>\n
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