{"id":11675,"date":"2013-11-18T01:26:55","date_gmt":"2013-11-18T03:26:55","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=11675"},"modified":"2023-01-13T01:03:09","modified_gmt":"2023-01-13T04:03:09","slug":"desafio-quadrado-perfeito","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-quadrado-perfeito\/","title":{"rendered":".Desafio: Quadrado Perfeito"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

\n

Sabendo que os n\u00fameros inteiros [tex]a,\\, b,\\, c[\/tex] satisfazem \u00e0 rela\u00e7\u00e3o [tex]a+b+c=0[\/tex], mostre que o n\u00famero [tex]2(a^4+b^4+c^4)[\/tex] \u00e9 um quadrado perfeito.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/strong><\/span><\/p>\n

\n

Vamos elevar ao quadrado a express\u00e3o [tex]a+b+c=0[\/tex]. Assim, teremos a seguinte sequ\u00eancia de igualdades equivalentes:
\n[tex]\\quad\\\\
\n \\quad(a+b+c)^2=(0)^2\\\\
\n\\quad a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=0 \\\\
\n\\quad a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)\\\\
\n\\quad (a^2+b^2+c^2)^2=(-2(ab+ac+bc))^2 \\\\
\n\\quad a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)=4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2) \\\\
\n\\quad a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2+8abc(a+b +c) \\\\
\n\\quad a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2 \\\\
\n\\quad 2(a^4+b^4+c^4)= a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2 \\\\
\n\\quad 2(a^4+b^4+c^4)= (a^2+b^2+c^2)^2.\\\\
\n\\;[\/tex]
\nComo [tex]k=a^2+b^2+c^2~[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural, segue que
\n[tex]\\qquad 2(a^4+b^4+c^4)=k^2[\/tex], com [tex]k \\in \\mathbb{N}[\/tex],
\n e, portanto, o n\u00famero [tex]2(a^4+b^4+c^4)[\/tex] \u00e9, de fato, um quadrado perfeito. <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Participaram da discuss\u00e3o do problema os seguintes Clubes: Einstens do Leonor II; Math Error; Os Pitag\u00f3ricos.<\/span><\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Sabendo que os n\u00fameros inteiros [tex]a,\\, b,\\, c[\/tex] satisfazem \u00e0 rela\u00e7\u00e3o [tex]a+b+c=0[\/tex], mostre que o n\u00famero [tex]2(a^4+b^4+c^4)[\/tex] \u00e9 um quadrado perfeito.   Solu\u00e7\u00e3o Vamos elevar ao quadrado a express\u00e3o [tex]a+b+c=0[\/tex]. Assim, teremos a seguinte sequ\u00eancia de igualdades equivalentes: [tex]\\quad\\\\ \\quad(a+b+c)^2=(0)^2\\\\ \\quad a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=0 \\\\ \\quad a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)\\\\ … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":164,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-11675","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/11675","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/164"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=11675"}],"version-history":[{"count":26,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/11675\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":182859,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/11675\/revisions\/182859"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=11675"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}