{"id":116637,"date":"2018-12-02T04:58:58","date_gmt":"2018-12-02T06:58:58","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=116637"},"modified":"2023-05-15T04:20:52","modified_gmt":"2023-05-15T07:20:52","slug":"problemao-multiplo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-multiplo\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: M\u00faltiplo"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>(<strong>OBM<\/strong>) Se [tex]n\\gt 4[\/tex] \u00e9 um n\u00famero n\u00e3o primo, justifique a afirma\u00e7\u00e3o de que [tex](n-1)![\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]n[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Como [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero n\u00e3o primo, podemos escrev\u00ea-lo como [tex]n=a\\times b[\/tex] de tal forma que [tex]a,b \\in \\mathbb{N} [\/tex],  com [tex]a\\gt 1[\/tex] e [tex] \\, b\\gt 1[\/tex].<br \/>\nPodemos considerar, sem perda de generalidade, que [tex]a\\le b[\/tex]. Assim, temos duas possibilidades:[tex]\\boxed{a\\neq b} \\, ;  \\, \\boxed{a=b} \\, .[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li>Se [tex]a\\neq b [\/tex], ent\u00e3o<br \/>\n[tex]\\qquad (n-1)!=1\\times2\\times\\cdots \\times a\\times \\cdots\\times  b\\times \\cdots\\times (n-1)[\/tex]<br \/>\ne, assim, observamos que  [tex]a\\times b[\/tex] \u00e9 um divisor de [tex](n-1)![\/tex].<br \/>\nDessa forma, [tex]n[\/tex] \u00e9 um divisor de [tex](n-1)![\/tex], o que equivale a dizer que [tex](n-1)![\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]n.[\/tex]<\/li>\n<li> Se [tex]a=b[\/tex], ent\u00e3o [tex]n=a^2[\/tex] e  [tex]a\\lt n[\/tex]. <\/li>\n<p>Observe que  [tex]2a\\lt n[\/tex], pois, caso contr\u00e1rio, ter\u00edamos [tex]2a\\ge n[\/tex] e tamb\u00e9m a seguinte sequ\u00eancia de implica\u00e7\u00f5es<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad 2a\\ge n \\Rightarrow 4a^2\\ge n^2 \\Rightarrow 4n\\ge n^2\\Rightarrow  4\\ge n[\/tex],<br \/>\no que levaria a uma contradi\u00e7\u00e3o da hip\u00f3tese [tex]n\\gt 4.[\/tex]<br \/>\nAssim,<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad (n-1)!=1\\times2\\times\\cdots\\times a\\times\\cdots\\times 2a\\times\\cdots\\times (n-1)[\/tex],<br \/>\n ou seja, [tex]n=a^2[\/tex] \u00e9 divisor de [tex](n-1)! \\, .[\/tex]<\/ul>\n<p>Portanto, em qualquer dos casos, fica garantido que [tex](n-1)![\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]n.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) (OBM) Se [tex]n\\gt 4[\/tex] \u00e9 um n\u00famero n\u00e3o primo, justifique a afirma\u00e7\u00e3o de que [tex](n-1)![\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]n[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Como [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero n\u00e3o primo, podemos escrev\u00ea-lo como [tex]n=a\\times b[\/tex] de tal forma que [tex]a,b \\in \\mathbb{N} [\/tex], com [tex]a\\gt 1[\/tex] e [tex] &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-multiplo\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":620,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-116637","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/116637","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/620"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=116637"}],"version-history":[{"count":16,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/116637\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":190364,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/116637\/revisions\/190364"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=116637"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}