{"id":116619,"date":"2018-11-27T13:38:46","date_gmt":"2018-11-27T15:38:46","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=116619"},"modified":"2023-05-13T03:57:14","modified_gmt":"2023-05-13T06:57:14","slug":"problema-soma-dos-comprimentos-dos-segmentos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-soma-dos-comprimentos-dos-segmentos\/","title":{"rendered":".Problema: Soma dos comprimentos dos segmentos"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n(<strong>OBM<\/strong>) De um ponto qualquer marcado no interior de um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero, tra\u00e7am-se segmentos perpendiculares a todos os lados. Demonstre que a soma dos comprimentos dos segmentos tra\u00e7ados \u00e9 igual \u00e0 altura do tri\u00e2ngulo.  <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nConsidere o tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero [tex]ABC[\/tex] de lados com comprimento [tex]l[\/tex] e altura com comprimento [tex]h.[\/tex] Sejam [tex]d_1,\\ d_2[\/tex] e [tex]d_3[\/tex] as medidas dos segmentos perpendiculares aos lados desse tri\u00e2ngulo e tra\u00e7ados a partir de um ponto [tex]D[\/tex], no seu interior.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/11\/problema_1.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"400\" height=\"350\" class=\"aligncenter size-full wp-image-116623\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/11\/problema_1.png 522w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/11\/problema_1-300x262.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><\/p>\n<p>A \u00e1rea desse tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 dada por [tex]\\dfrac{l\\times h}{2}.[\/tex]<br \/>\nObserve que essa \u00e1rea tamb\u00e9m pode ser vista como a soma das \u00e1reas dos tri\u00e2ngulos [tex]ADB[\/tex], [tex]BDC[\/tex] e [tex]CDA[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/11\/problema_2.png\" alt=\"\" width=\"400\" height=\"350\" class=\"aligncenter size-full wp-image-116626\" \/><\/p>\n<p>Podemos calcular as \u00e1reas de cada um desses tr\u00eas tri\u00e2ngulos tomando os lados do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] como bases (todas, portanto, medindo [tex]l[\/tex]) e os tr\u00eas segmentos perpendiculares aos lados como as respectivas alturas. Por exemplo, no tri\u00e2ngulo [tex]ADB[\/tex], o segmento [tex]AB[\/tex], com comprimento [tex]l[\/tex], \u00e9 uma base e o segmento [tex]DE[\/tex], com comprimento [tex]d_2[\/tex], \u00e9 uma altura; logo, sua \u00e1rea \u00e9 [tex] \\,  \\, \\dfrac{l\\times d_2}{2}[\/tex].<br \/>\nFazendo o mesmo para os outros tri\u00e2ngulos, podemos concluir que:<\/p>\n<p style=\" text-align:center; margin:20px;\"> [tex]\\qquad \\dfrac{l\\times h}{2}=\\dfrac{d_1\\times l}{2}+\\dfrac{d_2\\times l}{2}+\\dfrac{d_3\\times l}{2}.\\\\[\/tex]<\/p>\n<p>Simplificando a igualdade obtida, obtemos [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$d_1+d_2+d_3=h$} \\, [\/tex], como quer\u00edamos demonstrar.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (OBM) De um ponto qualquer marcado no interior de um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero, tra\u00e7am-se segmentos perpendiculares a todos os lados. Demonstre que a soma dos comprimentos dos segmentos tra\u00e7ados \u00e9 igual \u00e0 altura do tri\u00e2ngulo. 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