Problema determine o volume da pir\u00e2mide [tex]P[\/tex].<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Vamos calcular o comprimento do lado da base da pir\u00e2mide [tex]P[\/tex] usando a medida do lado da base da pir\u00e2mide [tex]Q[\/tex]. Na figura abaixo, temos as bases das pir\u00e2mides [tex]Q[\/tex] e [tex]P[\/tex]. Sendo [tex] l[\/tex] o comprimento do lado da base da pir\u00e2mide [tex]Q[\/tex] podemos encontrar o comprimento [tex]a[\/tex] do lado da base da pir\u00e2mide [tex]P.[\/tex]<\/p>\n Notemos que o tri\u00e2ngulo em destaque \u00e9 ret\u00e2ngulo, assim: \\begin{eqnarray} Como o volume de [tex]Q[\/tex] \u00e9 [tex]48\\; m^3[\/tex], substituindo esse valor em [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e calculando [tex]h[\/tex], temos que Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.) (Fundamentos de Matem\u00e1tica Elementar, Vol. 10 – Adaptado) Sejam [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex] pir\u00e2mides quadrangulares regulares tais que a base de [tex]P[\/tex] \u00e9 formada pelos pontos m\u00e9dios das arestas da base de [tex]Q[\/tex]. Sabendo que o volume de [tex]Q[\/tex] \u00e9 [tex]48\\; m^3[\/tex], que o v\u00e9rtice de … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n(Fundamentos de Matem\u00e1tica Elementar, Vol. 10<\/strong> – Adaptado) Sejam [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex] pir\u00e2mides quadrangulares regulares tais que a base de [tex]P[\/tex] \u00e9 formada pelos pontos m\u00e9dios das arestas da base de [tex]Q[\/tex]. Sabendo <\/p>\n\n
\n Na figura a seguir, ilustramos as pir\u00e2mides [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex], de acordo com as informa\u00e7\u00f5es do problema.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/11\/piramide1.jpg\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/11\/piramide2.jpg\")
<\/p>\n
\n\\begin{eqnarray}
\na^2&=&\\bigg(\\frac{l}{2}\\bigg)^2+\\bigg(\\frac{l}{2}\\bigg)^2\\\\\\nonumber
\na^2&=&\\frac{l^2}{4}+\\frac{l^2}{4}\\\\ \\nonumber
\na^2&=&\\frac{l^2}{2}\\\\
\na&=&\\frac{l\\sqrt{2}}{2}.\\;\\;\\;
\n\\end{eqnarray}
\nConsidere [tex]h[\/tex] o comprimento da altura da pir\u00e2mide [tex]Q[\/tex]. Assim, o comprimento da altura [tex]h_1[\/tex] da pir\u00e2mide [tex] P[\/tex] \u00e9 [tex]h_1=\\frac{2}{3}\\cdot h[\/tex]. Sabemos que o volume de uma pir\u00e2mide qualquer \u00e9 [tex] V=\\frac{1}{3}\\cdot B\\cdot h'[\/tex], sendo [tex]B[\/tex] a \u00e1rea da base e [tex]h'[\/tex] o comprimento da sua altura. Logo, os volumes [tex] V_Q[\/tex] e [tex] V_P[\/tex] das pir\u00e2mides [tex]Q[\/tex] e [tex]P[\/tex], respectivamente, s\u00e3o dados por
\n\\begin{eqnarray}\\label{v2}
\nV_Q=\\frac{1}{3}\\cdot l^2\\cdot h.\\;\\;\\;\\textcolor{#800000}{(i)}
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\nV_P=\\frac{1}{3}\\cdot \\bigg(\\frac{l\\sqrt{2}}{2}\\bigg)^2\\cdot h_1.\\;\\;\\;
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\n\\begin{eqnarray}\\nonumber
\n\\frac{1}{3}\\cdot l^2 \\cdot h=48\\\\
\nh=\\frac{144}{l^2}.
\n\\end{eqnarray}
\nAgora, podemos calcular o volume da pir\u00e2mide [tex]P[\/tex]:
\n\\begin{eqnarray}\\nonumber
\nV_P=\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{l^2\\cdot 2}{4}\\cdot h_1\\\\ \\nonumber
\nV_P=\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{l^2\\cdot 2}{4}\\cdot \\frac{2}{3}\\cdot\\frac{144}{l^{2}}\\\\
\n\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$V_P=16\\;m^3$} \\, .
\n\\end{eqnarray}<\/p>\n
\n