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Problema \n<\/div>\n \n Lembrete<\/p>\n Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural composto cuja fatora\u00e7\u00e3o em n\u00fameros primos \u00e9<\/p>\n [tex]\\ n=p_1^{a_1}\\cdot p_2^{a_2}\\cdots p_{t}^{a_t}. [\/tex] <\/p>\n Ent\u00e3o, a quantidade total de divisores inteiros positivos de [tex]n [\/tex] \u00e9 dada por <\/p>\n [tex] (a_1+1)\\cdot (a_2+1)\\cdots (a_t+1).[\/tex] <\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Observemos que as duas primeiras possibilidades n\u00e3o podem ocorrer, pois ter\u00edamos [tex]a=0[\/tex], no primeiro caso, e [tex]b=0[\/tex], no segundo caso. Assim, restam apenas as possibilidades<\/p>\n Portanto, os n\u00fameros que Paulo ter\u00e1 que descobrir s\u00e3o: [tex]2^5\\cdot 3^2\\cdot 5^1\\cdot 11^4= \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$21.083.040$} \\, [\/tex] e [tex] \\, 2^5\\cdot 3^2\\cdot 5^4\\cdot 11^1= \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1.980.000$} \\, .[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.) (Estruturas Alg\u00e9bricas-Adaptado) Roberto pensou em um n\u00famero [tex] n[\/tex] cuja fatora\u00e7\u00e3o em n\u00fameros primos \u00e9 dada por [tex]n=2^5\\cdot 3^2\\cdot 5^a\\cdot 11^b[\/tex], com [tex]a, \\, b\\gt 0[\/tex]. Para que o amigo Paulo descobrisse tal n\u00famero, Roberto disse-lhe que a quantidade total de divisores inteiros positivos de … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n(Estruturas Alg\u00e9bricas<\/strong>-Adaptado) Roberto pensou em um n\u00famero [tex] n[\/tex] cuja fatora\u00e7\u00e3o em n\u00fameros primos \u00e9 dada por [tex]n=2^5\\cdot 3^2\\cdot 5^a\\cdot 11^b[\/tex], com [tex]a, \\, b\\gt 0[\/tex]. Para que o amigo Paulo descobrisse tal n\u00famero, Roberto disse-lhe que a quantidade total de divisores inteiros positivos de [tex]n[\/tex] \u00e9 [tex]180[\/tex].
\nQuais s\u00e3o os poss\u00edveis valores de [tex]n[\/tex] que Paulo ter\u00e1 que descobrir? <\/p>\n
\nComo [tex]\\boxed{n=2^5\\cdot 3^2\\cdot 5^a\\cdot 11^b} \\, [\/tex] tem [tex]180[\/tex] divisores, de acordo com o Lembrete<\/strong>, temos que:
\n\\begin{eqnarray}(5+1)\\cdot (2+1) \\cdot(a+1) \\cdot (b+1)=180\\\\ \\nonumber
\n6\\cdot 3 \\cdot (a+1)\\cdot (b+1)=180\\\\ \\nonumber
\n(a+1)\\cdot (b+1)=\\frac{180}{18}\\\\
\n(a+1)\\cdot (b+1)=10.\\end{eqnarray}
\nPor outro lado, as \u00fanicas possibilidades para decompormos [tex]10[\/tex] como produto de dois n\u00fameros inteiros positivos, a menos da ordem, s\u00e3o [tex] 10=1\\cdot 10[\/tex] ou [tex] 10=2\\cdot 5[\/tex]. Assim, temos as seguintes possibilidades:<\/p>\n\n
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