{"id":116219,"date":"2018-11-27T19:15:52","date_gmt":"2018-11-27T21:15:52","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=116219"},"modified":"2024-06-07T19:29:46","modified_gmt":"2024-06-07T22:29:46","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-quantos-numeros","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-quantos-numeros\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Quantos n\u00fameros?"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=219990\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#915F6D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n <span style=\"font-size:12px;color:#0000FF\"> (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nDetermine a quantidade de n\u00fameros naturais [tex] \\, \\boxed{ n=abcd} \\,  [\/tex], de quatro d\u00edgitos distintos e n\u00e3o nulos, tais que<br \/>\n[tex]\\quad \\bullet  \\, a \\gt b[\/tex],<br \/>\n[tex]\\quad \\bullet  \\, c \\gt b[\/tex],<br \/>\n[tex]\\quad \\bullet  \\, c \\gt d.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:87%; margin-left:auto; margin-right:auto; \">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"70\" height=\"84\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/><\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Uma ajuda para os mais novos<\/p>\n<p>Para uma visualiza\u00e7\u00e3o da solu\u00e7\u00e3o que apresentaremos, utilizaremos uma representa\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica para os algarismos [tex] \\, a, \\, b \\, , \\, c \\, , \\, d \\, .[\/tex]<br \/>\nEsse tipo de representa\u00e7\u00e3o \u00e9 comum para quem j\u00e1 estudou geometria anal\u00edtica, mas quem ainda n\u00e3o estudou esse assunto n\u00e3o ter\u00e1 dificuldade de entender o que faremos.<\/p>\n<ul>\n<li>Vamos representar dois ou mais n\u00fameros naturais distintos como pontos de um segmento de reta, de modo que um n\u00famero maior seja sempre colocado \u00e0 direita de um menor.<br \/>\nPor exemplo, se [tex]x \\, , \\, y \\, , \\, z \\, [\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais tais que [tex]y \\lt z \\lt x [\/tex], podemos represent\u00e1-los como indicado abaixo.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/prob239.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"273\" height=\"49\" class=\"aligncenter size-full wp-image-115301\" \/>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nObserve que, pelos dados do problema, [tex] \\, b \\lt c \\, [\/tex] e [tex] \\, d \\lt c.[\/tex] Assim, olhando os n\u00fameros [tex] \\,  \\, b \\, , \\, c \\, , \\, d \\, [\/tex] como pontos de um segmento, [tex]c[\/tex] est\u00e1 \u00e0 direita de [tex]b[\/tex] e \u00e0 direita de [tex]d[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/prob239_2.png\" style=\"border:none;\"  alt=\"\" width=\"448\" height=\"39\" class=\"aligncenter size-full wp-image-115308\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/prob239_2.png 448w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/prob239_2-300x26.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 448px) 100vw, 448px\" \/><\/p>\n<p>No entanto, n\u00e3o temos informa\u00e7\u00f5es comparativas entre [tex]b \\, [\/tex] e [tex] \\, d[\/tex]; assim, temos que considerar as duas situa\u00e7\u00f5es poss\u00edveis: <\/p>\n<table style=\"width:85%\">\n<tr>\n<td class=\"bf\">\n<p> <span style=\"color:#6495ED;\">&#9658;<\/span> [tex]  \\, b \\lt d\\lt c [\/tex]  <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/prob239_3.png\" alt=\"\" width=\"198\" height=\"53\" class=\"aligncenter size-full wp-image-115312\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p><span style=\"color:#6495ED;\">&#9658;<\/span> [tex] \\, d \\lt b\\lt c \\, [\/tex]<\/p>\n<p> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/prob239_4.png\" alt=\"\" width=\"205\" height=\"53\" class=\"aligncenter size-full wp-image-115313\" \/><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>Mas, e o algarismo [tex]a[\/tex]?<br \/>\nA \u00fanica informa\u00e7\u00e3o que temos sobre [tex]a[\/tex] \u00e9 a de que [tex]a \\gt b[\/tex]; dessa forma, vamos inserir essa informa\u00e7\u00e3o nas duas situa\u00e7\u00f5es acima descritas. Acompanhe&#8230;<\/p>\n<table style=\"margin-top:10px; width:600px; margin-left:40px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"> <span style=\"color:#6495ED;\">&#9658;<\/span> Do primeiro caso,  [tex] \\, b \\lt d\\lt c \\, [\/tex], resulta que:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex] \\, b \\lt a \\lt d\\lt c \\, [\/tex] ou <\/li>\n<li>[tex] \\, b \\lt d \\lt a\\lt c \\, [\/tex] ou <\/li>\n<li>[tex] \\, b \\lt d\\lt c \\lt a \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<td class=\"bf\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/prob239_5.png\" alt=\"\" width=\"196\" height=\"76\" class=\"aligncenter size-full wp-image-115342\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"bf\"> <span style=\"color:#6495ED;\">&#9658;<\/span>  Do segundo caso,  [tex] \\, d \\lt b\\lt c \\, [\/tex], resulta que:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex] \\, d \\lt b \\lt a\\lt c \\, [\/tex] ou <\/li>\n<li>[tex] \\, d \\lt b\\lt c \\lt a \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<td class=\"bf\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/prob239_6.png\" alt=\"\" width=\"196\" height=\"77\" class=\"aligncenter size-full wp-image-115343\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>Temos, ent\u00e3o cinco possibilidades para os algarismos que satisfazem as condi\u00e7\u00f5es do problema. Embora cada uma dessas possibilidades gere n\u00fameros  [tex]n=abcd [\/tex] distintos, podemos cont\u00e1-las da mesma maneira. Assim, s\u00f3 precisamos contar de quantas maneiras podemos escolher quatro dentre os n\u00fameros [tex]1, \\, 2, \\, 3, \\, 4, \\, 5, \\, 6, \\, 7, \\, 8, \\, 9 [\/tex]; cada maneira gera cinco n\u00fameros [tex]n[\/tex], cada um satisfazendo uma das cinco condi\u00e7\u00f5es. Por exemplo, se temos os algarismos [tex]2, \\, 8, \\, 1, \\, 5 [\/tex], ent\u00e3o:<\/p>\n<ul>\n<li> fazemos [tex] \\, b=1, \\,  a=2, \\,   d=5, \\,   c=8[\/tex] e obtemos [tex] \\, \\boxed{ n=2185} \\,  [\/tex]; <\/li>\n<li>fazemos [tex] \\, b= 1, \\,  d=2, \\,  a=5, \\,  c=8[\/tex] e obtemos [tex] \\, \\boxed{ n=5182} \\,  [\/tex];<\/li>\n<li>fazemos [tex] \\, b =1, \\,  d=2, \\,  c =5, \\,  a=8[\/tex] e obtemos [tex] \\, \\boxed{ n=8152} \\,  [\/tex];<\/li>\n<li>fazemos [tex] \\, d =1, \\,  b =2, \\,  a=5, \\,  c=8 \\, [\/tex] e obtemos [tex] \\, \\boxed{ n=5281} \\,  [\/tex];<\/li>\n<li>fazemos [tex] \\, d=1, \\,  b=2, \\,  c =5, \\,  a=8[\/tex] e obtemos [tex] \\, \\boxed{ n=8251} \\,  [\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p><span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> Os quatro n\u00fameros devem ser escolhidos dentre os nove poss\u00edveis sem nos preocuparmos com a ordem, j\u00e1 que, depois de escolhidos, eles ser\u00e3o ordenados convenientemente de cinco formas diferentes. A escolha de quatro entre os nove n\u00fameros poder\u00e1 ser feita de [tex]C_{9,4}[\/tex] modos distintos, onde [tex]C_{9,4}[\/tex] indica uma combina\u00e7\u00e3o dos [tex]9[\/tex] elementos tomados [tex]4[\/tex] a [tex]4[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad C_{9,4}=\\binom{9}{4}=\\dfrac{9!}{(9-4)! \\, 4!}=\\dfrac{9!}{5! \\, 4!}=126[\/tex] modos.<br \/>\n<span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> Cada uma das [tex]126[\/tex] escolhas gera cinco n\u00fameros que atendem as exig\u00eancias do problema; assim, o total de n\u00fameros que atendem as condi\u00e7\u00f5es do problema \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$126 \\times 5=630$} \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Quantos-n\u00fameros.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Quantos n\u00fameros.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. 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