M\u00e9dias e Desigualdades – Aplica\u00e7\u00f5es <\/em><\/p>\n \n Apresentaremos nesta Sala algumas aplica\u00e7\u00f5es envolvendo as m\u00e9dias e as desigualdades apresentadas na Sala Principal. Mas, antes, apresentaremos um resumo do que foi desenvolvido por l\u00e1!<\/p>\n ►<\/span> M\u00e9dia Aritm\u00e9tica<\/strong> – Denominamos M\u00e9dia Aritm\u00e9tica dos n\u00fameros reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \\dots, a_n[\/tex] ao n\u00famero denotado por [tex]MA[\/tex] e assim definido:<\/p>\n [tex]\\boxed{MA=\\dfrac{a_1+a_2+a_3+\\dots+a_n}{n}}[\/tex]<\/p>\n ►<\/span> M\u00e9dia Geom\u00e9trica <\/strong> – Denominamos M\u00e9dia Geom\u00e9trica dos n\u00fameros reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \\dots, a_n[\/tex] ao n\u00famero denotado por [tex]MG[\/tex] e assim definido:<\/p>\n [tex]\\boxed{MG=\\sqrt[n]{a_1 \\cdot a_2 \\cdot a_3 \\cdot \\, \\dots \\, \\cdot a_n}}[\/tex]<\/p>\n ►<\/span> M\u00e9dia Harm\u00f4nica<\/strong> – Denominamos M\u00e9dia Harm\u00f4nica dos n\u00fameros reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \\dots, a_n[\/tex] ao n\u00famero denotado por [tex]MH[\/tex] e assim definido:<\/p>\n [tex]\\boxed{MH=\\dfrac{n}{\\dfrac{1}{a_1}+\\dfrac{1}{a_2}+\\dfrac{1}{a_3}+\\dots+\\dfrac{1}{a_n}}}[\/tex]<\/p>\n ►<\/span> M\u00e9dia dos Quadrados<\/strong> – Denominamos M\u00e9dia dos Quadrados dos n\u00fameros reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \\dots, a_n[\/tex] ao n\u00famero denotado por [tex]MQ[\/tex] e assim definido:<\/p>\n [tex]\\boxed{MQ=\\sqrt{\\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+\\dots+a_n^2}{n}}}[\/tex]<\/p>\n ►<\/span> M\u00e9dia Potencial<\/strong> – Denominamos M\u00e9dia Potencial de grau [tex]\\alpha[\/tex] dos n\u00fameros reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \\dots, a_n[\/tex] ao n\u00famero denotado por [tex]M_{\\alpha}[\/tex] e assim definido:<\/p>\n [tex]\\boxed{M_{\\alpha}=\\left(\\dfrac{a_1^ \\alpha + a_2^ \\alpha + a_3^ \\alpha + \\dots + a_n^ \\alpha}{n}\\right)^ \\frac{1}{\\alpha}}[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n \n Desigualdades<\/p>\n Se [tex]a_1, a_2, a_3, \\dots, a_n[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais positivos, temos as seguintes rela\u00e7\u00f5es entre as m\u00e9dias desses n\u00fameros: <\/p>\n \n[tex] \\, \\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ M\u00e9dia\\ Aritm\u00e9tica \\geqslant M\u00e9dia\\ Geom\u00e9trica$} \\, [\/tex] \n[tex] \\, \\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ M\u00e9dia\\ Geom\u00e9trica \\geqslant M\u00e9dia\\ Harm\u00f4nica$}[\/tex] \n[tex] \\, \\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ M\u00e9dia\\ Aritm\u00e9tica \\geqslant M\u00e9dia\\ Harm\u00f4nica$}[\/tex] \n se [tex]\\alpha \\lt 0 \\lt \\beta[\/tex],<\/span> [tex]\\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$M_\\alpha \\leqslant MG \\leqslant M_\\beta$} \\, [\/tex] \n se [tex]0 \\lt \\alpha \\leqslant \\beta[\/tex],<\/span> [tex]\\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$M_\\alpha \\leqslant M_\\beta$} \\, [\/tex].<\/p>\n<\/div>\n Exemplos de aplica\u00e7\u00f5es<\/p>\n \n Exemplo 1:<\/strong><\/span> Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> Exemplo 2:<\/strong><\/span> Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> Exemplo 3:<\/strong><\/span> Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> Exemplo 4:<\/strong><\/span> Determine as dimens\u00f5es do terreno a ser cercado de modo que a metragem da tela a ser utilizada seja m\u00ednima.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> A \u00e1rea do galinheiro \u00e9 dada por [tex]xy=18[\/tex] e a metragem da tela a ser utilizada \u00e9 [tex]P=x+2y[\/tex] (Observe que um dos lados do galinheiro \u00e9 um muro, logo n\u00e3o precisar\u00e1 de cerca)<\/span>. Exemplo 5:<\/strong><\/span> Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> \n Problemas propostos<\/p>\n \n Sejam [tex]a, \\, b, \\, c[\/tex] n\u00fameros reais positivos. Prove que [tex]\\boxed{\\dfrac{a^4}{b}+\\dfrac{b^4}{c}+\\dfrac{c^4}{a}\\geqslant 3abc} \\, .[\/tex]<\/p>\n \n \n Mostre que [tex]\\boxed{a^2+2b\\geqslant 3(ab)^{2\/3}} \\, [\/tex], para todos [tex]a, b[\/tex] reais positivos.<\/p>\n \n Observe que [tex]a^2+2b=a^2+b+b[\/tex]. Logo, aplicando [tex]MA\\geqslant MG[\/tex] aos n\u00fameros [tex]a, \\, b, \\, b[\/tex], temos: \n Determinar o valor m\u00ednimo da express\u00e3o [tex]f(x)=x^2+\\dfrac{4}{\\sqrt{x}}[\/tex], [tex]x\\gt 0.[\/tex]<\/p>\n \n Observe que podemos escrever a express\u00e3o de [tex]f(x)[\/tex] como sendo \n Se [tex]x, y, z[\/tex] s\u00e3o reais positivos, mostre que [tex]\\boxed{xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)\\geqslant 6xyz} \\, .[\/tex]<\/p>\n \n Observe que [tex]\\boxed{xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)= x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2} \\, .[\/tex] \n (IMO [tex]2012[\/tex]<\/strong>) Seja [tex]n\\gt 3[\/tex] um inteiro e sejam [tex]a_2, a_3, \\cdots, a_n[\/tex] n\u00fameros positivos tais que [tex]a_2a_3 \\cdots a_n=1[\/tex]. Prove que <\/p>\n [tex](1+a_2)^2(1+a_3)^3 \\cdots (1+a_n)^n \\geqslant n^n.[\/tex]<\/p>\n \n Inicialmente, observe que para cada [tex]a_k[\/tex] dado temos que \n Prove que se [tex]a_1, a_2, \\cdots a_n[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros positivos tais que [tex]a_1a_2\\dots a_n=1[\/tex], ent\u00e3o [tex](1+a_1)(1+a_2)\\cdots (1+a_n)\\geqslant 2^n.[\/tex]<\/p>\n \n Aplicando sucessivamente a desigualdade [tex]MA \\geqslant MG[\/tex] aos n\u00fameros [tex]1, \\, a_k[\/tex], com [tex]k[\/tex] variando de [tex]1[\/tex] a [tex]n[\/tex], obtemos: \n Determine o menor valor de [tex]y=x^2+\\dfrac{1}{x}[\/tex], para [tex]x\\gt 0[\/tex].<\/p>\n \n Reescrevendo [tex]y=x^2+\\dfrac{1}{x}[\/tex] como [tex]y=x^2+\\dfrac{1}{2x}+\\dfrac{1}{2x}[\/tex] e aplicando a desigualdade [tex]MA \\geqslant MG[\/tex] para [tex]x^2 \\, , \\, \\dfrac{1}{2x} \\, , \\, \\dfrac{1}{2x}[\/tex], temos que:<\/p>\n [tex]\\qquad\\dfrac{y}{3}=\\dfrac{x^2+\\dfrac{1}{2x}+\\dfrac{1}{2x}}{3}\\geqslant \\sqrt[3]{x^2\\cdot \\dfrac{1}{2x}\\cdot \\dfrac{1}{2x}}=\\sqrt[3]{\\dfrac{1}{4}}=\\dfrac{\\sqrt[3]{2}}{2}.[\/tex]<\/p>\n Assim, o menor valor para [tex]y[\/tex] \u00e9 [tex]y=\\dfrac{3 \\, \\sqrt[3]{2}}{2}[\/tex] e ocorre quando [tex]x^2=\\dfrac{1}{2x}[\/tex], ou seja, para [tex]x=\\dfrac{1}{\\sqrt[3]{2}}.[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n \n Se [tex]a, b, c[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros positivos tais que [tex]a+b+c=1[\/tex], mostre que [tex]\\boxed{a^2+b^2+c^2\\geqslant \\dfrac{1}{3}} \\, .[\/tex]<\/p>\n \n Como [tex]M_1 \\leqslant M_2[\/tex], temos [tex]MA \\leqslant MQ.[\/tex] Assim: \n Sabemos que os n\u00fameros reais positivos [tex]x_1, x_2, \\cdots, x_n[\/tex] possuem produto igual a [tex]1[\/tex]. Minimizar a express\u00e3o [tex]\\displaystyle \\prod_{i=1}^{n} (x_i+n)[\/tex].<\/p>\n \n Escrevendo [tex]n[\/tex] como [tex]\\underbrace{1+\\cdots +1}_{{n} \\, uns}[\/tex] e aplicando a desigualdade [tex]MA\\geqslant MG[\/tex], temos que:<\/p>\n [tex]x_1+n=x_1+\\underbrace{1+\\cdots +1}_{{n} \\, uns}\\geqslant (n+1)\\cdot \\sqrt[n+1]{x_1\\cdot 1 \\cdot 1 \\cdots 1}=(n+1)\\cdot \\sqrt[n+1]{x_1}.[\/tex] \n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n
\ne a igualdade ocorre quando [tex]a_1= a_2= a_3= \\dots = a_n[\/tex].<\/span>\n<\/p>\n
\ne a igualdade ocorre quando [tex]a_1= a_2= a_3= \\dots = a_n[\/tex].<\/span><\/p>\n
\ne a igualdade ocorre quando [tex]a_1= a_2= a_3= \\dots = a_n[\/tex].<\/span>\n<\/p>\n
\ne a igualdade ocorre quando [tex]a_1= a_2= a_3= \\dots = a_n[\/tex].<\/p>\n
\n
\n
\n
\n
\nSejam [tex]a, \\, b, \\, c \\, [\/tex] n\u00fameros reais positivos. Prove que [tex]\\boxed{\\dfrac{a}{b}+\\dfrac{b}{c}+\\dfrac{c}{a}\\geqslant 3} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\nComo [tex]a, \\, b, \\, c[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais positivos, podemos usar a desigualdade [tex]MA\\geqslant MG[\/tex]. Assim,
\n[tex]\\qquad \\dfrac{\\dfrac{a}{b}+\\dfrac{b}{c}+\\dfrac{c}{a}}{3}\\geqslant \\sqrt[3]{\\dfrac{a}{b}\\cdot \\dfrac{b}{c}\\cdot \\dfrac{c}{a}}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\dfrac{a}{b}+\\dfrac{b}{c}+\\dfrac{c}{a}\\geqslant 3\\cdot \\sqrt[3]{1}\\\\
\n \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad \\dfrac{a}{b}+\\dfrac{b}{c}+\\dfrac{c}{a}\\geqslant 3.[\/tex]
\nObserve que a igualdade s\u00f3 \u00e9 satisfeita para [tex]a=b=c[\/tex].<\/p>\n
\n
\n
\nSabendo que [tex]a, \\, b, \\, c, \\, d[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais positivos, com [tex]abcd=1[\/tex], prove que [tex]\\boxed{a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd\\geqslant 10} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\nPerceba que [tex]a^2, \\, b^2, \\, c^2, \\, d^2, \\, ab, \\, ac, \\, ad, \\, bc, \\, bd, \\, cd[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais positivos; logo, podemos usar a desigualdade [tex]MA\\geqslant MG[\/tex].
\nDessa forma, segue que:
\n[tex]\\begin{align*} \\\\
\n\\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd}{10}&\\geqslant \\sqrt[10]{a^2\\cdot b^2\\cdot c^2\\cdot d^2\\cdot ab\\cdot ac\\cdot ad\\cdot bc\\cdot bd\\cdot cd}\\\\
\n \\, \\, \\\\
\n\\qquad \\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd}{10} &\\geqslant \\sqrt[10]{(abcd)^5}\\\\
\n \\, \\, \\\\
\n\\qquad a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd &\\geqslant 10\\cdot \\sqrt[10]{1}\\\\
\n \\, \\, \\\\
\n\\qquad a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd &\\geqslant 10 \\, .\\\\
\n\\end{align*}\\\\
\n \\, \\, [\/tex]
\nComo na demonstra\u00e7\u00e3o da desigualdade [tex]MA \\geqslant MG[\/tex], temos que a igualdade s\u00f3 ocorre quando [tex]a=b=c=d=1[\/tex].<\/p>\n
\n
\n
\n(Austr\u00e1lia [tex]2000[\/tex]<\/strong>) Seja [tex]a[\/tex] um n\u00famero real n\u00e3o nulo e [tex]b[\/tex] um n\u00famero real. Prove que [tex]\\boxed{a^2+b^2+\\dfrac{1}{a^2}+\\dfrac{b}{a}\\geqslant \\sqrt{3}} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\nInicialmente, vamos agrupar convenientemente os termos da express\u00e3o [tex]a^2+b^2+\\dfrac{1}{a^2}+\\dfrac{b}{a}[\/tex].
\n[tex]\\qquad \\begin{align*}
\na^2+b^2+\\dfrac{1}{a^2}+\\dfrac{b}{a}& =a^2+b^2+\\left(\\dfrac{1}{4a^2}+\\dfrac{3}{4a^2}\\right)+\\dfrac{b}{a}\\\\
\n&=\\left(b^2+\\dfrac{1}{4a^2}+\\dfrac{b}{a}\\right)+\\left(a^2+\\dfrac{3}{4a^2}\\right)\\\\
\n&=\\left(b+\\dfrac{1}{2a}\\right)^2+\\left(a^2+\\dfrac{3}{4a^2}\\right).\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}
\n\\end{align*}[\/tex]
\nPor outro lado, pela desigualdade [tex]MA\\geqslant MG[\/tex], tem-se
\n[tex]\\qquad \\dfrac{a^2+\\dfrac{3}{4a^2}}{2}\\geqslant \\sqrt{a^2\\cdot \\dfrac{3}{4a^2}}.[\/tex]
\nAssim,
\n[tex]\\qquad a^2+\\dfrac{3}{4a^2}\\geqslant 2\\sqrt{\\cancel{a^2}\\cdot \\dfrac{3}{4\\cancel{a^2}}} =\\sqrt{3}[\/tex]
\ne, portanto,
\n[tex]\\qquad \\left(b+\\dfrac{1}{2a}\\right)^2+\\left(a^2+\\dfrac{3}{4a^2}\\right)\\geqslant \\left(b+\\dfrac{1}{2a}\\right)^2+\\sqrt{3}\\geqslant \\sqrt{3},\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex],
\nj\u00e1 que [tex] \\left(b+\\dfrac{1}{2a}\\right)^2 \\geqslant 0.[\/tex]
\nDeste modo, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], conclu\u00edmos que
\n[tex]\\qquad \\qquad \\, \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$a^2+b^2+\\dfrac{1}{a^2}+\\dfrac{b}{a}\\geqslant \\sqrt{3}$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n
\n
\nAli Bab\u00e3o deseja construir, no quintal de sua casa, um galinheiro de formato retangular utilizando uma tela de arame que delimite uma \u00e1rea de [tex]18\\ m^2[\/tex]. O muro dos fundos do quintal servir\u00e1 como lado para o referido galinheiro, conforme a figura abaixo.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/11\/Muro-1.png\")
<\/p>\n
\nSejam [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] as dimens\u00f5es do galinheiro, conforme mostra a figura a seguir.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/11\/Muro-2.png\")
<\/p>\n
\nIsolando [tex]y[\/tex] na primeira equa\u00e7\u00e3o e substituindo na segunda, temos:
\n[tex]\\qquad P=x+2\\cdot \\dfrac{18}{x}=x+\\dfrac{36}{x}.[\/tex]
\nPor\u00e9m, aplicando a desigualdade [tex]MA \\geqslant MG[\/tex], obtemos:
\n[tex]\\qquad \\begin{align*} \\dfrac{x+\\dfrac{36}{x}}{2}&\\geqslant \\sqrt{x\\cdot \\dfrac{36}{x}}\\\\
\nx+\\dfrac{36}{x}&\\geqslant 2 \\sqrt{\\cancel{x}\\cdot \\dfrac{36}{\\cancel{x}}}=12.\\end{align*}[\/tex]
\nComo [tex]P[\/tex] indica a metragem da tela a ser utilizada e [tex]P=x+\\dfrac{36}{x}\\geqslant 12[\/tex], para que a metragem seja m\u00ednima devemos ter [tex]P=12 \\, m.[\/tex]
\nVimos na Sala principal que a igualdade [tex]MG = MA[\/tex] s\u00f3 ocorre se todos os elementos que definem essas m\u00e9dias forem iguais; assim, temos [tex]x=\\dfrac{36}{x}[\/tex], o que nos fornece [tex]x=6\\ m[\/tex] e [tex]y=3\\ m.[\/tex]<\/p>\n
\n
\n
\nSe [tex]f(x, y, z)=x^3+y^3+z^3[\/tex], com [tex]x, y, z[\/tex] s\u00e3o reais positivos, e [tex]x+y+z=\\sqrt[3]{3}[\/tex], determine o valor m\u00ednimo de [tex]f[\/tex].<\/p>\n
\nComo [tex]x, y, z[\/tex] s\u00e3o reais positivos, ent\u00e3o [tex]M_1\\leqslant M_3[\/tex]. Assim, segue que:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{x+y+z}{3}\\leqslant \\left(\\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}\\right)^\\frac{1}{3} \\\\
\n\\quad \\dfrac{(x+y+z)^3}{27}\\leqslant \\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{(\\sqrt[3]{3})^3}{9}\\leqslant x^3+y^3+z^3 \\\\
\n\\qquad \\dfrac{1}{3}\\leqslant x^3+y^3+z^3.[\/tex]
\nPortanto, o valor m\u00ednimo de [tex]f[\/tex] \u00e9 [tex]\\dfrac{1}{3}[\/tex] e ocorre se, e somente se, [tex]x=y=z=\\dfrac{\\sqrt[3]{3}}{3}.[\/tex]\n<\/div>\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\nAssim, [tex] \\, \\dfrac{\\dfrac{a^4}{b}+\\dfrac{b^4}{c}+\\dfrac{c^4}{a}}{3}\\geqslant \\sqrt[3]{\\dfrac{a^4}{b}\\cdot \\dfrac{b^4}{c}\\cdot \\dfrac{c^4}{a}} \\, [\/tex] e, consequentemente, [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\\dfrac{a^4}{b}+\\dfrac{b^4}{c}+\\dfrac{c^4}{a}\\geqslant
\n 3abc$} \\, .[\/tex]
\nA igualdade s\u00f3 \u00e9 satisfeita para [tex]a=b=c.[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n[tex]\\qquad \\dfrac{a^2+b+b}{3}\\geqslant \\sqrt[3]{a^2\\cdot b\\cdot b}[\/tex]
\n[tex]\\qquad a^2+2b\\geqslant 3\\sqrt[3]{a^2b^2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad a^2+2b\\geqslant 3(ab)^{2\/3}.[\/tex]
\nA igualdade s\u00f3 ocorre para [tex]a^2=b.[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n[tex]\\qquad f(x)=x^2+\\dfrac{4}{\\sqrt{x}}=x^2+\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}+\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}+\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}+\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}.[\/tex]
\nEnt\u00e3o, aplicando a desigualdade [tex]MA \\geqslant MG[\/tex] \u00e0s cinco parcelas que comp\u00f5em essa express\u00e3o de [tex]f(x)[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{x^2+\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}+\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}+\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}+\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}}{5}\\geqslant \\sqrt[5]{x^2\\cdot \\dfrac{1}{\\sqrt{x}}\\cdot \\dfrac{1}{\\sqrt{x}}\\cdot \\dfrac{1}{\\sqrt{x}}\\cdot \\dfrac{1}{\\sqrt{x}}}[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^2+\\dfrac{4}{\\sqrt{x}}\\geqslant 5\\cdot 1[\/tex]
\n[tex]\\qquad f(x)\\geqslant 5.[\/tex]
\nPortanto, o valor m\u00ednimo de [tex]f(x)[\/tex] \u00e9 [tex]5[\/tex] e ocorre se, e somente se, [tex]x=1[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\nAssim, aplicando a desigualdade [tex]MA \\geqslant MG[\/tex] aos n\u00fameros [tex]x^2y, \\, xy^2, \\, x^2z, \\, xz^2, \\, y^2z, \\, yz^2[\/tex], temos:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2}{6}\\geqslant \\sqrt[6]{(xyz)^6},[\/tex]
\ne, assim, [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)\\geqslant 6xyz$} \\, .[\/tex] <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n[tex]\\qquad 1+a_k=\\underbrace{\\dfrac{1}{k-1}+ \\dots \\dfrac{1}{k-1}}_{{k-1} \\, vezes}+a_k[\/tex].
\nAssim, aplicando a desigualdade [tex]MA \\geqslant MG[\/tex], temos que:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{1+a_k}{k}\\geqslant \\sqrt[k]{\\left(\\dfrac{1}{k-1}\\right)^{k-1}a_k}[\/tex],
\ndonde
\n[tex]\\qquad (1+a_k)^k\\geqslant \\dfrac{k^k}{(k-1)^{k-1}}a_k.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nAgora, aplicando a desigualdade [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] para [tex]k[\/tex] de [tex]2[\/tex] a [tex]n[\/tex], temos:
\n[tex]\\qquad (1+a_2)^2\\geqslant \\dfrac{2^2}{(2-1)}a_2[\/tex]
\n[tex]\\qquad(1+a_3)^3\\geqslant \\dfrac{3^3}{(3-1)^2}a_3[\/tex]
\n[tex]\\qquad(1+a_4)^4\\geqslant \\dfrac{4^4}{(4-1)^3}a_4[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\cdots[\/tex]
\n[tex]\\qquad(1+a_n)^n\\geqslant \\dfrac{n^n}{(n-1)^{n-1}}a_n[\/tex].
\nMultiplicando todas as desigualdades, obtemos:
\n[tex]\\qquad (1+a_2)^2(1+a_3)^3 \\cdots (1+a_n)^n \\geqslant \\dfrac{2^2}{(2-1)}a_2\\dfrac{3^3}{(3-1)^2}a_3\\cdots \\dfrac{n^n}{(n-1)^{n-1}}a_n[\/tex]
\n[tex]\\qquad (1+a_2)^2(1+a_3)^3 \\cdots (1+a_n)^n \\geqslant a_2a_3 \\cdots a_nn^n \\, .[\/tex]
\nComo [tex]a_2a_3 \\cdots a_n=1[\/tex], da \u00faltima desigualdade, segue que:
\n[tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$(1+a_2)^2(1+a_3)^3 \\cdots (1+a_n)^n \\geqslant n^n$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n[tex]\\qquad 1+a_1\\geqslant 2\\sqrt{a_1};[\/tex]
\n[tex]\\qquad 1+a_2\\geqslant 2\\sqrt{a_2};[\/tex]
\n[tex]\\qquad 1+a_3\\geqslant 2\\sqrt{a_3};[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\vdots[\/tex]
\n[tex]\\qquad 1+a_n\\geqslant 2\\sqrt{a_n}.[\/tex]
\nMultiplicando todas as desigualdades, vem:
\n[tex](1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)\\cdots (1+a_n)\\geqslant 2^n \\sqrt{a_1} \\sqrt{a_2} \\cdots \\sqrt{a_n}=2^n \\sqrt{a_1a_2\\cdots a_n}=2^n,[\/tex]
\npois [tex]a_1a_2\\cdots a_n=1[\/tex], e assim:
\n[tex] \\, \\, \\qquad \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)\\cdots (1+a_n)\\geqslant 2^n$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n[tex]\\qquad \\sqrt{\\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}\\geqslant \\dfrac{a+b+c}{3}=\\dfrac{1}{3}.[\/tex]
\nElevando ao quadrado ambos os lados dessa desigualdade, vem que:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\\geqslant \\dfrac{1}{9}[\/tex],
\ndonde [tex] \\, \\, \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$a^2+b^2+c^2\\geqslant \\dfrac{1}{3}$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\nAnalogamente,
\n[tex]\\qquad x_2+n\\geqslant (n+1)\\cdot \\sqrt[n+1]{x_2};[\/tex]
\n[tex]\\qquad x_3+n\\geqslant (n+1)\\cdot \\sqrt[n+1]{x_3};[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\vdots[\/tex]
\n[tex]\\qquad x_n+n\\geqslant (n+1)\\cdot \\sqrt[n+1]{x_n}.[\/tex]
\nMultiplicando essas express\u00f5es, temos:
\n[tex]\\qquad \\displaystyle \\prod_{i=1}^{n} (x_i+n)\\geqslant (n+1)^n\\cdot \\sqrt[n+1]{x_1\\cdot x_2\\cdots x_n}=(n+1)^n,[\/tex]
\npois [tex]x_1\\cdot x_2\\cdots x_n=1[\/tex].
\nPercebam que a igualdade ocorre quando [tex] x_1=x_2=\\cdots =x_n=1[\/tex] e, portanto, [tex] (n+1)^n[\/tex]\u00e9 o valor m\u00ednimo da express\u00e3o dada.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n