\n
M\u00e9dias e Desigualdades <\/em><\/p>\n \u00c9 muito comum nos depararmos com problemas de m\u00e1ximos e m\u00ednimos de express\u00f5es alg\u00e9bricas e, por algumas vezes, termos que interpretar geometricamente as desigualdades entre as m\u00e9dias, bem como as condi\u00e7\u00f5es para a sua igualdade. Isso porque as desigualdades alg\u00e9bricas e suas propriedades s\u00e3o ferramentas poderosas para a resolu\u00e7\u00e3o de problemas de olimp\u00edadas envolvendo desigualdades geom\u00e9tricas e c\u00e1lculo de m\u00e1ximos e m\u00ednimos. A mera observa\u00e7\u00e3o de propriedades simples das desigualdades serve para esclarecer alguns aspectos que certos problemas levantam, como por exemplo:<\/p>\n ►<\/span> Dado um ret\u00e2ngulo de per\u00edmetro fixo, quais as medidas de suas dimens\u00f5es para que sua \u00e1rea seja m\u00e1xima?<\/strong><\/p>\n Nesta Sala de Estudos, apresentaremos cinco M\u00e9dias e algumas Desigualdades importantes que as relacionam. Apresentaremos tamb\u00e9m algumas aplica\u00e7\u00f5es do conte\u00fado desenvolvido, na forma de exemplos e problemas propostos.<\/p>\n Vamos l\u00e1?<\/p>\n Bons Estudos, pessoal! <\/em><\/p>\n I – As M\u00e9dias<\/p>\n Ent\u00e3o, s\u00e3o estas as M\u00e9dias que utilizaremos:<\/p>\n \n ►<\/span> M\u00e9dia Aritm\u00e9tica<\/strong> – Denominamos M\u00e9dia Aritm\u00e9tica dos n\u00fameros reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \\dots, a_n[\/tex] ao n\u00famero denotado por [tex]MA[\/tex] e assim definido:<\/p>\n [tex]\\boxed{MA=\\dfrac{a_1+a_2+a_3+\\dots+a_n}{n}}.[\/tex]<\/p>\n A M\u00e9dia Aritm\u00e9tica preserva a soma dos n\u00fameros da lista<\/strong>, conforme podemos observar a seguir. \n ►<\/span> M\u00e9dia Geom\u00e9trica <\/strong> – Denominamos M\u00e9dia Geom\u00e9trica dos n\u00fameros reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \\dots, a_n[\/tex] ao n\u00famero denotado por [tex]MG[\/tex] e assim definido:<\/p>\n [tex]\\boxed{MG=\\sqrt[n]{a_1 \\cdot a_2 \\cdot a_3 \\cdot \\, \\dots \\, \\cdot a_n}}.[\/tex]<\/p>\n A M\u00e9dia Geom\u00e9trica preserva o produto dos n\u00fameros da lista<\/strong>, conforme podemos observar a seguir. \n ►<\/span> M\u00e9dia Harm\u00f4nica<\/strong> – Denominamos M\u00e9dia Harm\u00f4nica dos n\u00fameros reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \\dots, a_n[\/tex] ao n\u00famero denotado por [tex]MH[\/tex] e assim definido:<\/p>\n [tex]\\boxed{MH=\\dfrac{n}{\\dfrac{1}{a_1}+\\dfrac{1}{a_2}+\\dfrac{1}{a_3}+\\dots+\\dfrac{1}{a_n}}} \\, [\/tex],<\/p>\n ou seja, \u00e9 o inverso da M\u00e9dia Aritm\u00e9tica dos inversos dos valores. \n ►<\/span> M\u00e9dia dos Quadrados<\/strong> – Denominamos M\u00e9dia dos Quadrados (ou m\u00e9dia Quadr\u00e1tica) dos n\u00fameros reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \\dots, a_n[\/tex] ao n\u00famero denotado por [tex]MQ[\/tex] e assim definido:<\/p>\n [tex]\\boxed{MQ=\\sqrt{\\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+\\dots+a_n^2}{n}}}.[\/tex]<\/p>\n A M\u00e9dia dos Quadrados preserva a soma dos quadrados dos n\u00fameros da lista<\/strong>, conforme podemos observar a seguir. \n [tex]\\boxed{M_{\\alpha}=\\left(\\dfrac{a_1^ \\alpha + a_2^ \\alpha + a_3^ \\alpha + \\dots + a_n^ \\alpha}{n}\\right)^ \\frac{1}{\\alpha}}.[\/tex]<\/p>\n A M\u00e9dia Potencial generaliza tr\u00eas das quatro m\u00e9dias acima definidas, pois, em particular: \n Embora as m\u00e9dias aritm\u00e9tica e a dos quadrados possam ser definidas para listas de n\u00fameros reais n\u00e3o necessariamente positivos, como estabeleceremos rela\u00e7\u00f5es entre essas diversas m\u00e9dias e elas tamb\u00e9m ser\u00e3o aplicadas em problemas de geometria, definimos essas duas m\u00e9dias para n\u00fameros reais positivos, evitando-se a possibilidade de as m\u00e9dias geom\u00e9trica e harm\u00f4nica n\u00e3o existirem. <\/p>\n \n<\/div>\n II – Desigualdades<\/p>\n (1) Desigualdade entre as m\u00e9dias Aritm\u00e9tica e Geom\u00e9trica<\/p>\n \n[tex]\\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ M\u00e9dia\\ Aritm\u00e9tica \\geqslant M\u00e9dia\\ Geom\u00e9trica$}[\/tex]<\/p>\n [tex]\\boxed{\\dfrac{a_1+a_2}{2}\\geqslant \\sqrt{a_1a_2}}.[\/tex]<\/p>\n<\/ul>\n \nPara ver a demonstra\u00e7\u00e3o dessa desigualdade, clique no bot\u00e3o abaixo.<\/strong><\/p>\n \n [tex]\\boxed{\\dfrac{a_1+a_2+a_3+\\dots+a_n}{n}\\geqslant \\sqrt[n]{a_1 \\cdot a_2 \\cdot a_3 \\dots a_n}}.[\/tex]<\/p>\n \nPara ver a demonstra\u00e7\u00e3o dessa desigualdade, clique no bot\u00e3o abaixo.<\/strong><\/p>\n [tex] \\qquad G_1=\\sqrt[m]{G\\cdot y_2\\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot y_{m-1}\\cdot\\frac{y_1\\cdot y_m}{G}}\\\\ Das duas observa\u00e7\u00f5es, conclu\u00edmos que [tex]\\boxed {y_1 \\leqslant G \\leqslant y_{m}} \\, [\/tex] e, dessa dupla desigualdade, podemos concluir que [tex] y_1-G \\leqslant 0[\/tex] e tamb\u00e9m que [tex]1-\\frac{y_m}{G}\\leqslant 0[\/tex], donde [tex] \\left(y_1-G \\right)\\cdot \\left(1-\\frac{y_m}{G}\\right) \\geqslant 0.[\/tex] \n Vamos, ent\u00e3o, \u00e0 demonstra\u00e7\u00e3o de que, para qualquer n\u00famero natural [tex]n[\/tex], se [tex]a_1, a_2, \\cdots, a_n[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais positivos, ent\u00e3o [tex]\\boxed{\\dfrac{a_1+a_2+a_3+\\dots+a_n}{n}\\geqslant \\sqrt[n]{a_1 \\cdot a_2 \\cdot a_3 \\dots a_n}}.[\/tex] [tex] \\qquad \\qquad \\textcolor{#A2B5CD}{\\bullet} \\, [\/tex] [tex]\\left(MA\\right)_1 \\leqslant MA[\/tex] e a igualdade s\u00f3 ocorrer\u00e1 quando todos os n\u00fameros da lista [tex]L[\/tex] forem iguais. [tex] \\qquad \\qquad \\textcolor{#A2B5CD}{\\bullet} \\, [\/tex] [tex]\\left(MA\\right)_2 \\leqslant \\left(MA\\right)_1[\/tex] e a igualdade s\u00f3 ocorrer\u00e1 quando todos os n\u00fameros da lista [tex]L_1[\/tex] forem iguais. [tex] \\qquad \\qquad \\textcolor{#A2B5CD}{\\bullet} \\, [\/tex] [tex]\\left(MA\\right)_3 \\leqslant \\left(MA\\right)_2[\/tex] e a igualdade s\u00f3 ocorrer\u00e1 quando todos os n\u00fameros da lista [tex]L_2[\/tex] forem iguais. Prosseguindo dessa forma, depois de no m\u00e1ximo [tex]n[\/tex] etapas, obteremos uma lista [tex]L^*[\/tex] com [tex]n[\/tex] n\u00fameros iguais a [tex]MG[\/tex]. Por sucessivas aplica\u00e7\u00f5es do LEMA temos que, se a m\u00e9dia geom\u00e9trica e a m\u00e9dia aritm\u00e9tica de [tex]L^*[\/tex] forem, respectivamente, [tex]\\left(MG\\right)^*[\/tex] e [tex]\\left(MA\\right)^*[\/tex], ent\u00e3o: \nSe voc\u00ea sabe o que \u00e9 uma demonstra\u00e7\u00e3o por indu\u00e7\u00e3o, Agora, vamos estender, mais uma vez, a desigualdade entre as m\u00e9dias aritm\u00e9tica e geom\u00e9trica para [tex]n[\/tex] n\u00fameros reais positivos [tex]a_1, a_2, \\cdots, a_n[\/tex]. Para isso, tamb\u00e9m faremos uso de um LEMA.<\/p>\n J\u00e1 sabemos que um lema \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o preliminar cuja demonstra\u00e7\u00e3o pr\u00e9via \u00e9 necess\u00e1ria para demonstrar a tese principal que se pretende estabelecer. Em outras palavras, \u00e9 um resultado demonstr\u00e1vel que nos ajuda a provar algo. Ent\u00e3o, vamos a ele.<\/p>\n Prova do LEMA: \tPortanto, nossa tese \u00e9 para [tex]n=k+1[\/tex]: se [tex]a_1\\cdot a_2\\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot a_k \\cdot a_{k+1}=1[\/tex], ent\u00e3o [tex]a_1+a_2 \\cdots + a_k+a_{k+1} \\geqslant k+1.[\/tex] <\/p>\n Observe que se [tex]a_1=a_2= \\cdots =a_k=a_{k+1}=1[\/tex], a referida desigualdade est\u00e1 provada. Mas, se nem todos forem iguais a [tex]1[\/tex], duas observa\u00e7\u00f5es devem ser levadas em conta: Agora, perceba que, nessas condi\u00e7\u00f5es, [tex](a_k-1)\\cdot (1-a_{k+1}) \\geqslant 0[\/tex], j\u00e1 que [tex]a_k-1 \\geqslant 0[\/tex] e [tex]1-a_{k+1} \\geqslant 0[\/tex]. \n Vamos, agora, finalizar a demonstra\u00e7\u00e3o da desigualdade entre as m\u00e9dias Aritm\u00e9tica e Geom\u00e9trica. [tex]\\dfrac{a_1}{MG} \\cdot \\dfrac{a_2}{MG} \\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot \\dfrac{a_n}{MG} = 1.[\/tex]<\/p>\n Observe que estamos diante de um produto igual a [tex]1[\/tex] e cujos fatores s\u00e3o [tex]n[\/tex] n\u00fameros reais positivos. Dessa forma, pelo LEMA<\/strong>, podemos escrever:<\/p>\n [tex]\\dfrac{a_1}{MG}+\\dfrac{a_2}{MG}+ \\cdots +\\dfrac{a_n}{MG} \\geqslant n[\/tex] o que conclui a prova.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n Consequ\u00eancias diretas da desigualdade entre as m\u00e9dias Aritm\u00e9tica e Geom\u00e9trica: (02) Desigualdade entre as m\u00e9dias Geom\u00e9trica e Harm\u00f4nica<\/p>\n \n[tex] \\, \\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ M\u00e9dia\\ Geom\u00e9trica \\geqslant M\u00e9dia\\ Harm\u00f4nica$}[\/tex]<\/p>\n Se [tex]a_1, a_2, a_3, \\dots, a_n[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais positivos, ent\u00e3o <\/p>\n [tex]\\boxed{\\sqrt[n]{a_1a_2a_3 \\dots a_n} \\geqslant \\dfrac{n}{\\dfrac{1}{a_1}+\\dfrac{1}{a_2}+\\dfrac{1}{a_3}+\\dots+\\dfrac{1}{a_n}}},[\/tex]<\/p>\n e a igualdade s\u00f3 ocorre para [tex]a_1=a_2=a_3= \\dots=a_n[\/tex].<\/p>\n \nPara ver uma demonstra\u00e7\u00e3o dessa desigualdade, clique no bot\u00e3o abaixo.<\/strong><\/p>\n Note que a igualdade em [tex]\\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex] acarreta a igualdade [tex]MA= MG[\/tex], que s\u00f3 ocorre para [tex]a_1=a_2=a_3= \\dots=a_n[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n (03) Desigualdade entre as m\u00e9dias Aritm\u00e9tica e Harm\u00f4nica<\/p>\n \n[tex] \\, \\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ M\u00e9dia\\ Aritm\u00e9tica \\geqslant M\u00e9dia\\ Harm\u00f4nica$}[\/tex]<\/p>\n Se [tex]a_1, a_2, a_3, \\dots, a_n[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais positivos, ent\u00e3o <\/p>\n [tex]\\boxed{\\dfrac{a_1+a_2+a_3+\\dots+a_n}{n}\\geqslant \\dfrac{n}{\\dfrac{1}{a_1}+\\dfrac{1}{a_2}+\\dfrac{1}{a_3}+\\dots+\\dfrac{1}{a_n}}}.[\/tex]<\/p>\n \nPara ver uma demonstra\u00e7\u00e3o dessa desigualdade, clique no bot\u00e3o abaixo.<\/strong><\/p>\n [tex]\\boxed{\\dfrac{a_1+a_2+a_3+\\dots+a_n}{n}\\geqslant \\dfrac{n}{\\dfrac{1}{a_1}+\\dfrac{1}{a_2}+\\dfrac{1}{a_3}+\\dots+\\dfrac{1}{a_n}}}.[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n \u00c9 importante observar que, de [tex]MA\\geqslant MH[\/tex], segue que Que tal assistir a um v\u00eddeo com provas geom\u00e9tricas dessas tr\u00eas desigualdades?<\/p>\n \u00c9 s\u00f3 clicar na setinha.<\/p>\n \n
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\nDe maneira bem informal, uma m\u00e9dia de uma lista de n\u00fameros reais \u00e9 um valor que pode substituir todos os n\u00fameros dessa lista sem alterar determinada caracter\u00edstica dela:<\/p>\n\n
\nDe [tex] \\, MA=\\dfrac{a_1+a_2+a_3+\\dots+a_n}{n}[\/tex], segue que
\n[tex]\\qquad\\begin{align*} \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$a_1+a_2+a_3+\\dots+a_n $}&= n \\cdot MA\\\\
\n&= \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\\underbrace {MA+MA+MA+\\cdots+MA}_{\\text{n vezes}}$}\\, .\\end{align*} [\/tex]
\nA M\u00e9dia Aritm\u00e9tica dos valores [tex]x_1, x_2, x_3, \\dots, x_m[\/tex] \u00e9 habitualmente denotada por [tex]\\overline{X}.[\/tex] Assim, a M\u00e9dia Aritm\u00e9tica dos n\u00fameros reais positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \\dots, a_n[\/tex] fixados poderia ser, tamb\u00e9m, denotada por[tex]\\overline{A}.[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n
\nDe [tex] \\, MG=\\sqrt[n]{a_1 \\cdot a_2 \\cdot a_3 \\cdot \\, \\dots \\, \\cdot a_n}[\/tex], temos que
\n[tex]\\qquad\\begin{align*} \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$a_1 \\cdot a_2 \\cdot a_3\\cdot \\, \\dots \\, \\cdot a_n$}&= \\left(MG\\right)^n\\\\
\n&= \\, \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\\underbrace {MG \\cdot MG \\cdot MG \\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot MG}_{\\text{n vezes}}$}\\, . \\end{align*}[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n
\nA M\u00e9dia Harm\u00f4nica preserva a soma dos inversos dos n\u00fameros da lista<\/strong>, conforme podemos observar a seguir.
\nDe [tex] \\, MH=\\dfrac{n}{\\dfrac{1}{a_1}+\\dfrac{1}{a_2}+\\dfrac{1}{a_3}+\\dots+\\dfrac{1}{a_n}}[\/tex], conclu\u00edmos que
\n[tex]\\qquad \\begin{align*} \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\\dfrac{1}{a_1}+\\dfrac{1}{a_2}+\\dfrac{1}{a_3}+\\dots+\\dfrac{1}{a_n}$}&=\\dfrac{n}{MH}\\\\
\n&= \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\\underbrace {\\dfrac{1}{MH} + \\dfrac{1}{MH} + \\dfrac{1}{MH} + \\, \\cdots \\, + \\dfrac{1}{MH}
\n}_{\\text{n vezes}}$}\\, . \\end{align*}[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n
\nDe [tex] \\, MQ=\\sqrt{\\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+\\dots+a_n^2}{n}}[\/tex], segue que
\n[tex]\\quad \\begin{align*} \\, \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$a_1^2+a_2^2+a_3^2+\\dots+a_n^2$}&= n\\left(MQ\\right)^2\\\\
\n&= \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\\underbrace {\\left(MQ\\right)^2 + \\left(MQ\\right)^2 + \\left(MQ\\right)^2 + \\, \\cdots \\, + \\left(MQ\\right)^2}_{\\text{n vezes}}$} \\, .\\end{align*}[\/tex]\n<\/div>\n
\n[tex]\\qquad M_1=\\left(\\dfrac{a_1+a_2+a_3+\\dots+a_n}{n}\\right)[\/tex] \u00e9 a M\u00e9dia Aritm\u00e9tica;
\n[tex]\\qquad M_2=\\left(\\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+\\dots+a_n^2}{n}\\right)^\\frac{1}{2}[\/tex] \u00e9 a M\u00e9dia dos Quadrados;
\n[tex]\\qquad M_{-1}=\\left(\\dfrac{a_1^{-1}+a_2^{-1}+a_3^{-1}+\\dots+a_n^{-1}}{n}\\right)^{-1}[\/tex] \u00e9 a M\u00e9dia Harm\u00f4nica.<\/p>\n<\/div>\n
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\nSe [tex]a_1[\/tex] e [tex]a_2[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais positivos, sabemos que [tex]\\sqrt{a_1} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\sqrt{a_2}[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais e que [tex](\\sqrt{a_1}-\\sqrt{a_2})^2\\geqslant 0[\/tex].
\nDessa forma, segue que:
\n[tex]\\qquad (\\sqrt{a_1}-\\sqrt{a_2})^2\\geqslant 0[\/tex]
\n[tex]\\qquad (\\sqrt{a_1})^2-2(\\sqrt{a_1})(\\sqrt{a_2})+(\\sqrt{a_2})^2\\geqslant 0[\/tex]
\n[tex]\\qquad a_1-2\\sqrt{a_1 \\, a_2}+a_2\\geqslant 0[\/tex]
\n[tex]\\qquad a_1+a_2\\geqslant 2\\sqrt{a_1 \\, a_2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\dfrac{a_1+a_2}{2}\\geqslant \\sqrt{a_1 \\, a_2}.[\/tex]
\nLogo, para dois n\u00fameros reais positivos, podemos escrever que [tex]\\boxed{MA\\geqslant MG}[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n\n
\nMas o que \u00e9 um LEMA?
\nUm Lema \u00e9 uma proposi\u00e7\u00e3o preliminar cuja demonstra\u00e7\u00e3o pr\u00e9via \u00e9 necess\u00e1ria para demonstrar uma afirma\u00e7\u00e3o principal que se pretende estabelecer, em outras palavras, \u00e9 um resultado demonstr\u00e1vel que nos ajuda a provar algo<\/em>.
\nPois bem, vamos a ele.<\/p>\n
\nSuponha que [tex] \\, A \\, [\/tex] e [tex] \\, G \\, [\/tex] sejam, respectivamente, a m\u00e9dia aritm\u00e9tica e a m\u00e9dia geom\u00e9trica da lista de n\u00fameros reais positivos [tex]y_1 \\, , \\, y_2 \\, , \\, \\cdots \\, , \\, y_m[\/tex], a qual vamos supor j\u00e1 devidamente ordenada ([tex]y_1 \\leqslant y_2 \\leqslant \\cdots \\leqslant y_m[\/tex]) para facilitar a nossa nota\u00e7\u00e3o.
\nEnt\u00e3o, ao substituirmos o menor elemento dessa lista, [tex]y_1[\/tex], por [tex] \\, G \\, [\/tex] e o maior elemento, [tex]y_m[\/tex], por [tex] \\, \\dfrac{y_1\\cdot y_m}{G} \\, [\/tex], resulta que:
\n[tex] \\qquad \\qquad \\textcolor{#A2B5CD}{\\bullet} \\, [\/tex] a m\u00e9dia aritm\u00e9tica dos n\u00fameros da nova lista \u00e9 menor do que ou igual \u00e0 m\u00e9dia [tex] \\, A \\, [\/tex]. E s\u00f3 ser\u00e1 igual, quando todos os n\u00fameros [tex]y_1 \\, , \\, y_2 \\, , \\, \\cdots \\, , \\, y_m[\/tex] forem iguais.
\n[tex] \\qquad \\qquad \\textcolor{#A2B5CD}{\\bullet} \\, [\/tex] a m\u00e9dia geom\u00e9trica dos n\u00fameros da nova lista permanece igual \u00e0 m\u00e9dia [tex] \\, G \\, [\/tex].
\nPara ver a demonstra\u00e7\u00e3o desse resultado, clique no bot\u00e3o abaixo.<\/strong><\/p>\n
\nSuponhamos que [tex]L[\/tex] seja a lista de n\u00fameros reais positivos [tex]y_1 \\, , \\, y_2 \\, , \\, \\cdots \\, , \\, y_m[\/tex]. Assim, as m\u00e9dias aritm\u00e9tica [tex]A[\/tex] e geom\u00e9trica [tex]G[\/tex] dos n\u00fameros de [tex]L[\/tex] s\u00e3o:
\n[tex] \\qquad A=\\dfrac{y_1+ y_2+ \\cdots+ y_m}{m}\\quad[\/tex] e [tex] \\quad G=\\sqrt [m]{y_1 \\cdot y_2 \\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot y_m}.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nNomearemos como [tex]L_1[\/tex] a lista resultante de substituirmos [tex]y_1[\/tex] por [tex] \\, G \\, [\/tex] e [tex]y_m[\/tex] por [tex] \\, \\dfrac{y_1\\cdot y_m}{G}:[\/tex]
\n[tex]\\qquad L_1: \\boxed{G} \\, , \\, y_2 \\, , \\, y_3 \\, , \\, \\cdots \\, , \\, y_{m-1},\\boxed{\\dfrac{y_1\\cdot y_m}{G}}.[\/tex]
\nSejam [tex]A_1[\/tex] e [tex]G_1[\/tex] respectivamente as m\u00e9dias aritm\u00e9tica e geom\u00e9trica dos n\u00fameros de [tex]L_1[\/tex], assim:
\n[tex] \\qquad A_1=\\dfrac{G+ y_2+ \\cdots+ \\frac{y_1\\cdot y_m}{G}}{m}\\quad[\/tex] e [tex] \\quad G_1=\\sqrt [m]{G \\cdot y_2 \\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot \\frac{y_1\\cdot y_m}{G}}.\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)} \\, .[\/tex]<\/p>\n\n
\n \\qquad G_1=\\sqrt[m]{\\cancel{G}\\cdot y_2\\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot y_{m-1}\\cdot\\frac{y_1\\cdot y_m}{\\cancel{G}}}\\\\
\n \\qquad G_1=\\sqrt [m]{y_1 \\cdot y_2 \\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot y_m}\\stackrel{\\textcolor{#800000}{(i)}}{=}G.[\/tex]
\nCom isso, temos que [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$G_1=G$} \\, .[\/tex]<\/p>\n\n
\n[tex]\\; y_1 \\leqslant y_1\\\\
\n\\; y_1 \\leqslant y_2\\\\
\n\\; y_1 \\leqslant y_3\\\\
\n\\; \\vdots\\\\
\n\\; y_1 \\leqslant y_{m-1}\\\\
\n\\; y_1 \\leqslant y_{m}\\\\[\/tex]
\nent\u00e3o
\n[tex]\\quad y_1^m \\leqslant y_1 \\cdot y_2 \\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot y_m\\\\[\/tex],
\nj\u00e1 que a lista \u00e9 formada por n\u00fameros positivos.
\nPortanto
\n[tex]\\quad y_1 \\leqslant \\sqrt[m]{y_1 \\cdot y_2 \\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot y_m}=G \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n\n
\n[tex]\\; y_1 \\leqslant y_m\\\\
\n\\; y_2 \\leqslant y_m\\\\
\n\\; y_3 \\leqslant y_m\\\\
\n\\; \\vdots \\\\
\n\\; y_{m-1} \\leqslant y_m\\\\
\n\\; y_{m} \\leqslant y_m\\\\[\/tex]
\nsegue que
\n[tex]\\quad y_1 \\cdot y_2 \\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot y_m \\leqslant y_m^m \\\\ [\/tex],
\nj\u00e1 que a lista \u00e9 formada por n\u00fameros positivos.
\nPortanto
\n[tex]\\quad G=\\sqrt[m]{y_1 \\cdot y_2 \\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot y_m} \\leqslant y_m \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n
\nDe [tex] \\left(y_1-G \\right)\\cdot \\left(1-\\frac{y_m}{G}\\right) \\geqslant 0[\/tex], seque que:
\n[tex] \\; y_1-\\frac{y_1 \\cdot y_m}{G}-G+y_m \\geqslant 0\\\\
\n\\; y_1+y_m \\geqslant G+\\frac{y_1 \\cdot y_m}{G}\\\\
\n \\; y_1+\\left( y_2+ \\, \\cdots \\, +y_{m-1}\\right)+y_m \\geqslant G+\\left( y_2+ \\, \\cdots \\, +y_{m-1}\\right)+\\frac{y_1 \\cdot y_m}{G}\\\\
\n \\; \\dfrac{y_1+ y_2+ \\, \\cdots \\, +y_{m-1}+y_m}{m} \\geqslant \\dfrac{G+ y_2+ \\, \\cdots \\, +y_{m-1}+\\frac{y_1 \\cdot y_m}{G}}{m}\\\\
\n[\/tex]
\nPor [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], podemos ent\u00e3o concluir que [tex]A \\geqslant A_1[\/tex], ou seja, a m\u00e9dia aritm\u00e9tica dos n\u00fameros da nova lista \u00e9 menor do que ou igual \u00e0 da lista original.
\nFinalmente, observe que se [tex]A = A_1[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\left(y_1-G \\right)\\cdot \\left(1-\\frac{y_m}{G}\\right)= 0[\/tex] e, portanto, [tex] y_1-G = 0[\/tex] ou [tex] 1-\\frac{y_m}{G}= 0[\/tex]. Mas as afirma\u00e7\u00f5es [tex] y_1=G \\, [\/tex] e [tex] \\, y_m=G[\/tex] s\u00f3 ocorrem quando todos os n\u00fameros da lista [tex]L[\/tex] forem iguais.
\nCom efeito, se algum elemento [tex]y_i[\/tex] da lista [tex]L[\/tex] for diferente de [tex]y_1[\/tex] (ou de [tex]y_m[\/tex]), ent\u00e3o teremos [tex]y_1 \\lt y_i[\/tex] (ou [tex]y_i \\lt y_m[\/tex]) e, portanto, [tex]y_1^m \\lt y_1 \\cdot y_2 \\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot y_m[\/tex] (ou [tex]y_1 \\cdot y_2 \\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot y_m \\lt y_m^m [\/tex]), ou seja, [tex] y_1 \\lt G \\, [\/tex] (ou [tex]G \\lt y_m) \\, [\/tex]. Deste modo, ter\u00edamos [tex] y_1\\ne G \\, [\/tex] (ou [tex] \\, y_m\\ne G[\/tex]).<\/span>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\nSejam [tex] \\, MA \\, [\/tex] e [tex] \\, MG \\, [\/tex] respectivamente a m\u00e9dia aritm\u00e9tica e a m\u00e9dia geom\u00e9trica da lista de n\u00fameros reais positivos
\n[tex] \\, L: a_1 \\, , \\, a_2 \\, , \\, \\cdots \\, , \\, a_n[\/tex].<\/p>\n\n
\n[tex] \\qquad \\qquad \\textcolor{#A2B5CD}{\\bullet} \\, [\/tex] [tex]\\left(MG\\right)_1 = MG[\/tex].<\/p>\n
\n[tex] \\qquad \\qquad \\textcolor{#A2B5CD}{\\bullet} \\, [\/tex] [tex]\\left(MG\\right)_2 = \\left(MG\\right)_1[\/tex].
\nPerceba tamb\u00e9m que, na lista [tex]L_2[\/tex], pelo menos dois elementos s\u00e3o iguais a [tex]MG[\/tex].<\/p>\n
\n[tex] \\qquad \\qquad \\textcolor{#A2B5CD}{\\bullet} \\, [\/tex] [tex]\\left(MG\\right)_3 = \\left(MG\\right)_2[\/tex].
\nPerceba que a lista [tex]L_3[\/tex] tem pelo menos tr\u00eas elementos iguais a [tex]MG[\/tex].\n<\/ul>\n
\n[tex] \\qquad \\qquad \\textcolor{#A2B5CD}{\\bullet} \\, [\/tex] [tex]\\left(MA\\right)^* \\leqslant \\cdots \\leqslant \\left(MA\\right)_3 \\leqslant \\left(MA\\right)_2 \\leqslant \\left(MA\\right)_1 \\leqslant MA \\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]
\n[tex] \\qquad \\qquad \\textcolor{#A2B5CD}{\\bullet} \\, [\/tex] [tex]\\left(MG\\right)^*= \\, \\cdots \\, =\\left(MG\\right)_3 =\\left(MG\\right)_2 = \\left(MG\\right)_1=MG[\/tex]
\nMas sabemos que na lista [tex]L^*[\/tex] os [tex]n[\/tex] n\u00fameros s\u00e3o iguais a [tex]MG[\/tex] e isso significa que:
\n[tex] \\qquad \\qquad \\textcolor{#A2B5CD}{\\bullet} \\, [\/tex] [tex]\\left(MA\\right)^* =\\dfrac{\\overbrace{MG+ MG+ \\, \\cdots \\, +MG}^{n\\text{ parcelas}}}{n}=\\dfrac{n\\cdot MG}{n}=MG \\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex]
\nPor [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex] obtemos que [tex]MG =\\left(MA\\right)^*\\leqslant MA[\/tex], ou seja, [tex]MA \\geqslant MG[\/tex], o que nos garante que
\n [tex]\\qquad \\qquad \\boxed{\\dfrac{a_1+a_2+a_3+\\dots+a_n}{n}\\geqslant \\sqrt[n]{a_1 \\cdot a_2 \\cdot a_3 \\dots a_n}}.[\/tex]
\nPara finalizar, note que s\u00f3 teremos [tex]MG = MA[\/tex] se, em cada uma das etapas a m\u00e9dia aritm\u00e9tica se manteve constante. E isso s\u00f3 ocorreria se todas as listas tivessem seus elementos iguais; em particular, a lista inicial [tex]L[\/tex]. Portanto [tex]MG = MA[\/tex] s\u00f3 ocorre se todos os [tex]a_i[\/tex]’s forem iguais.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n
\nclique no bot\u00e3o abaixo para ver uma segunda prova desta desigualdade.<\/strong><\/p>\n
\nFaremos a demonstra\u00e7\u00e3o por indu\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n
\n[tex](1)[\/tex] Nem todos esses n\u00fameros podem ser maiores que [tex]1[\/tex], pois o produto de todos eles seria maior que [tex]1[\/tex].
\n[tex](2)[\/tex] Nem todos esses n\u00fameros podem ser menores que [tex]1[\/tex], pois o produto de todos eles seria menor que [tex]1[\/tex].
\nDesta forma, <\/p>\n\n
\nLogo, desenvolvendo este produto, vem:
\n[tex]\\qquad a_k-a_k \\cdot a_{k+1}-1+a_{k+1} \\geqslant 0[\/tex]
\n[tex]\\qquad a_k+a_{k+1}-a_k \\cdot a_{k+1} \\geqslant 1. \\qquad \\textcolor{#800000}{(I)}[\/tex]
\nDeixemos este resultado guardado para utilizarmos daqui a pouco.
\nVoltando \u00e0 prova do lema, perceba que, se considerarmos o produto [tex]a_k \\cdot a_{k+1}[\/tex] como um \u00fanico n\u00famero, o produto [tex]a_1\\cdot a_2\\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot a_k \\cdot a_{k+1}=1[\/tex], ter\u00e1 [tex]k[\/tex] fatores e ser\u00e1 igual a [tex]1[\/tex]:
\n[tex]\\qquad a_1 \\cdot a_2 \\cdot \\, \\cdots \\, \\cdot a_{k-1} \\cdot (a_k \\cdot a_{k+1})=1.[\/tex]
\nAssim, por hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o,
\n[tex]\\qquad a_1+a_2+ \\cdots +a_{k-1}+(a_k \\cdot a_{k+1}) \\geqslant k[\/tex],
\n e, ent\u00e3o,
\n[tex]\\qquad a_1+a_2+ \\cdots +a_{k-1} \\geqslant k-a_k \\cdot a_{k+1}[\/tex].
\nAdicionando [tex]a_k+a_{k+1}[\/tex] a ambos os membros dessa \u00faltima desigualdade, obtemos:
\n[tex]\\; a_1+a_2+ \\cdots +a_{k-1}+a_k+a_{k+1} \\geqslant k-a_k \\cdot a_{k+1}+a_k+a_{k+1}. \\quad \\textcolor{#800000}{(II)}[\/tex]
\nPerceba que, por [tex] \\textcolor{#800000}{(I)}[\/tex] e [tex] \\textcolor{#800000}{(II)}[\/tex],
\n[tex]\\qquad a_k+a_{k+1}-a_k \\cdot a_{k+1} \\geqslant 1[\/tex]
\n[tex]\\qquad a_k+a_{k+1}-a_k \\cdot a_{k+1}+k \\geqslant 1+k[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad a_1+a_2+ \\cdots +a_{k+1} \\geqslant k+1[\/tex],
\no que demonstra o LEMA<\/strong>.<\/ul>\n<\/div>\n
\n Pois bem, sabemos que [tex]\\boxed{(MG)^n=a_1 \\cdot a_2 \\, \\cdot \\cdots \\, \\cdot a_n} \\, [\/tex], assim:<\/p>\n
\n[tex] \\, \\, \\\\
\n a_1+a_2+ \\cdots +a_n \\geqslant n \\cdot MG\\\\
\n \\, \\, \\\\
\n[\/tex]
\n[tex]\\dfrac{a_1+a_2+ \\cdots +a_n}{n} \\geqslant MG[\/tex]
\n[tex] \\, \\, \\\\
\n\\qquad MA \\geqslant MG[\/tex]<\/p>\n
\n
\n
\n►<\/span> Quando a soma de [tex]n[\/tex] n\u00fameros positivos for uma constante, o produto destes [tex]n[\/tex] n\u00fameros ser\u00e1 m\u00e1ximo quando todos eles forem iguais;
\n►<\/span> Quando o produto de [tex]n[\/tex] n\u00fameros positivos for uma constante, a soma destes [tex]n[\/tex] n\u00fameros ser\u00e1 m\u00ednima quando todos eles forem iguais.\n<\/div>\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\dfrac{\\dfrac{1}{a_1}+\\dfrac{1}{a_2}+\\dfrac{1}{a_3}+\\dots+\\dfrac{1}{a_n}}{n} \\geqslant \\sqrt[n]{\\dfrac{1}{a_1}\\cdot \\dfrac{1}{a_2}\\cdot \\dfrac{1}{a_3}\\dots \\dfrac{1}{a_n}}[\/tex],
\ndonde segue que:
\n[tex]\\\\
\n\\\\ \\, \\,
\n\\qquad \\dfrac{1}{a_1}+\\dfrac{1}{a_2}+\\dfrac{1}{a_3}+\\dots+\\dfrac{1}{a_n} \\geqslant \\dfrac{n}{\\sqrt[n]{a_1a_2a_3 \\dots a_n}}\\\\
\n\\\\ \\, \\,
\n\\qquad \\sqrt[n]{a_1a_2a_3 \\dots a_n} \\geqslant \\dfrac{n}{\\dfrac{1}{a_1}+\\dfrac{1}{a_2}+\\dfrac{1}{a_3}+\\dots+\\dfrac{1}{a_n}}.\\qquad \\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex]<\/p>\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n[tex] \\, \\, \\\\
\n \\qquad \\dfrac{a_1+a_2+a_3+\\dots a_n}{n}\\geqslant \\dfrac{n}{\\dfrac{1}{a_1}+\\dfrac{1}{a_2}+\\dfrac{1}{a_3}+\\dots+\\dfrac{1}{a_n}}\\\\
\n\\\\ \\, \\, \\, \\\\
\n\\qquad (a_1+a_2+a_3+\\dots +a_n)\\left(\\dfrac{1}{a_1}+\\dfrac{1}{a_2}+\\dfrac{1}{a_3}+\\dots +\\dfrac{1}{a_n}\\right)\\geqslant n^2.\\\\[\/tex]\n<\/p><\/div>\n
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