Problema <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o <\/strong><\/span><\/p>\n conforme ilustra a figura abaixo. Note que [tex]\\alpha[\/tex] e [tex]d[\/tex] s\u00e3o sim\u00e9tricos em rela\u00e7\u00e3o ao marcador das 12h e que os tri\u00e2ngulos que visualizamos na figura s\u00e3o congruentes (por LAL). Temos, ent\u00e3o, as seguintes rela\u00e7\u00f5es de proporcionalidade:<\/p>\n 12h (720min) —————————– 360\u00b0 60min ————————- 360\u00b0 Como [tex]t_1[\/tex] \u00e9 o tempo que falta para as 15h, temos que [tex]0,5t_1[\/tex] \u00e9 o \u00e2ngulo complementar de [tex]d[\/tex], ou seja, o que falta para completar 90\u00b0. Assim, [tex] d=90^{\\circ}-\\left(0,5t_1\\right)^{\\circ}.[\/tex] Com racioc\u00ednio an\u00e1logo, considerando [tex]t_2[\/tex] o tempo transcorrido ap\u00f3s \u00e0s 15h, temos que [tex]90+0,5t_2=360-6t_2[\/tex] (procure se convencer da validade dessa rela\u00e7\u00e3o<\/em>), de modo que [tex]t_2=\\dfrac{540}{13}[\/tex] minutos, ou seja, o tempo total de espera de Pietro foi de O ponteiro das horas descreveu, a partir do marcador das 12h, o \u00e2ngulo [tex]b[\/tex], dado por [tex]b = 90^{\\circ}+\\left(0,5t_2\\right)^{\\circ}\\cong 110,77^{\\circ}[\/tex]. O \u00e2ngulo [tex]d[\/tex] descrito pelo ponteiro das horas, a partir do marcador das 12h, \u00e9 [tex]d=90^{\\circ}-\\left(0,5t_1\\right)^{\\circ}\\cong83,08^{\\circ}[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Quando Pietro entrou na sala de espera do consult\u00f3rio m\u00e9dico, faltavam alguns minutos para as tr\u00eas horas da tarde. Ele reparou que o rel\u00f3gio que estava pendurado em uma das paredes da sala de espera tinha seu centro a 2,5 metros do ch\u00e3o e … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/strong><\/p>\n
Quando Pietro entrou na sala de espera do consult\u00f3rio m\u00e9dico, faltavam alguns minutos para as tr\u00eas horas da tarde. Ele reparou que o rel\u00f3gio que estava pendurado em uma das paredes da sala de espera tinha seu centro a 2,5 metros do ch\u00e3o e esse centro estava exatamente \u00e0 mesma dist\u00e2ncia das paredes laterais. Cada um dos ponteiros apontava para um dos cantos superiores da parede.
\nJ\u00e1 passava das tr\u00eas e meia quando Pietro ouviu anunciar a sua chamada para consulta; nesse momento ele olhou para o rel\u00f3gio e reparou na coincid\u00eancia: cada um dos ponteiros apontava, agora, para cada um dos cantos inferiores da parede.
\nQuanto tempo Pietro esperou?
\nQuais as dimens\u00f5es da parede onde estava o rel\u00f3gio?<\/strong><\/p>\n![\"na](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/08\/na-sala-do-consult\u00f3rio-300x186.jpg\")
\n<\/div>\n
\n Consideremos que:<\/p>\n\n
\n![\"1-sala](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/11\/1-sala-de-espera_1b.jpg\")
\nAgora, usemos uma rela\u00e7\u00e3o de proporcionalidade para determinarmos [tex]t_1[\/tex].![\"relogio33\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/12\/relogio33.gif\")
<\/p>\n\n
\n
\n60min —————————– 30\u00b0
\n [tex] t_1[\/tex]min —————————– [tex]\\left(0,5t_1\\right)^\\circ[\/tex]<\/p>\n<\/li>\n
\n [tex] t_1[\/tex]min ————————— [tex]\\left(6t_1\\right)^\\circ[\/tex]<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n
\nPor outro lado, sendo [tex]t_1[\/tex] o tempo necess\u00e1rio para que o ponteiro dos minutos atinja a marca das 12h, podemos constatar que [tex]\\alpha=(6t_1)^{\\circ}[\/tex]. Sendo assim, pela simetria do problema j\u00e1 observada anteriormente, temos ent\u00e3o que [tex]90-0,5t_1=6t_1[\/tex], do que decorre que [tex]t_1=\\dfrac{180}{13}[\/tex] minutos.<\/p>\n![\"1-sala](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/11\/1-sala-de-espera_1c.jpg\")
<\/p>\n
\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\dfrac{180}{13}[\/tex]+[tex]\\dfrac{540}{13}[\/tex]=[tex]\\dfrac{720}{13}[\/tex] minutos,
\n[tex]\\qquad \\qquad[\/tex](aproximadamente 55 minutos e 23 segundos)<\/span>.
\n
\nA segunda parte do problema exige conhecimentos mais espec\u00edficos de matem\u00e1tica. A figura seguinte representa o momento final da espera do Pietro.<\/p>\n![\"sala](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/11\/sala-de-espera_2.jpg\")
<\/p>\n
\nO \u00e2ngulo [tex]c[\/tex] ser\u00e1 ent\u00e3o o suplementar de [tex]b[\/tex], ou seja, [tex]c=180^{\\circ}-b \\cong 69,23^{\\circ}[\/tex].
\nSabendo trigonometria e considerando a tangente do \u00e2ngulo [tex]c[\/tex], conseguimos saber quanto mede [tex]y[\/tex], metade do comprimento da parede:
\n[tex]\\qquad \\qquad y\\cong 2,5 \\cdot tg( 69,23^{\\circ}) \\cong 6,59\\text{ m}[\/tex].
\nPassemos \u00e0 figura seguinte, que representa o momento de entrada do Pietro na sala:<\/p>\n![\"sala](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/11\/sala-de-espera_3.jpg\")
<\/p>\n
\nPor meio da tangente deste \u00e2ngulo descobrimos a dist\u00e2ncia [tex]z[\/tex] do centro do rel\u00f3gio ao teto:
\n[tex]\\qquad \\qquad z\\cong \\dfrac{6,59}{tg(83,08^{\\circ})}\\cong 0,80\\text{ m}[\/tex].
\nFinalmente, a altura e a largura da sala s\u00e3o de, aproximadamente,
\n[tex]\\qquad 2,5+0,8=3,3[\/tex] metros<\/span>
\n e
\n[tex]\\qquad 2\\times 6,59=13,18[\/tex] metros<\/span>,
\nrespectivamente.
\n<\/span><\/p>\n
\n