{"id":114994,"date":"2018-11-27T21:06:20","date_gmt":"2018-11-27T23:06:20","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=114994"},"modified":"2024-06-07T19:46:59","modified_gmt":"2024-06-07T22:46:59","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-avaliando-uma-soma","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-avaliando-uma-soma\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Avaliando uma soma"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio <\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

(ONEM 2009<\/strong> – Adaptado) Sabemos que [tex]a\\; ,\\; b\\; [\/tex] e [tex]\\; c\\; [\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais distintos tais que [tex]\\boxed{a\\cdot b \\cdot c=72}\\; .[\/tex]
\nQual \u00e9 o menor valor poss\u00edvel para a soma [tex]\\boxed{a+b+c}[\/tex] ?<\/li>\n<\/ul>\n

\n<\/div>\n

\n

\n\"explicador_p\"<\/p>\n

Lembretes<\/p>\n

Sejam [tex]a_1, a_2, a_3, \\cdots, a_n[\/tex] n\u00fameros reais positivos.
\n (1)<\/strong> <\/span> Chamamos de M\u00e9dia Aritm\u00e9tica dos n\u00fameros [tex]a_1, a_2, a_3, \\cdots a_n[\/tex] o n\u00famero assim definido:<\/p>\n

[tex]\\boxed{MA=\\dfrac{a_1+a_2+a_3+\\cdots+a_n}{n}}.[\/tex]<\/p>\n

(2)<\/strong> <\/span> Chamamos de M\u00e9dia Geom\u00e9trica dos n\u00fameros [tex]a_1, a_2, a_3, \\cdots, a_n[\/tex] o n\u00famero assim definido:<\/p>\n

[tex]\\boxed{MG=\\sqrt[n]{a_1 \\cdot a_2 \\cdot a_3 \\cdots a_n}}.[\/tex]<\/p>\n

(3)<\/strong> <\/span> Propriedade importante:<\/strong> [tex]\\boxed{MA \\geqslant MG}[\/tex], ou seja, <\/p>\n

[tex]\\boxed{\\dfrac{a_1+a_2+a_3+\\cdots+a_n}{n}\\geqslant \\sqrt[n]{a_1 \\cdot a_2 \\cdot a_3 \\cdots a_n}}.[\/tex]<\/p>\n

A igualdade s\u00f3 ocorre para [tex]a_1=a_2=a_3=\\cdots = a_n.[\/tex]<\/p>\n

\n(Para aprender um pouco mais sobre m\u00e9dias, clique AQUI<\/a><\/strong>)<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nSuponhamos, sem perda de generalidade, que [tex]a\\; ,\\; b\\; [\/tex] e [tex]\\; c\\; [\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais tais que [tex]\\boxed{a\\cdot b \\cdot c=72}[\/tex] , com [tex]a \\lt b \\lt c.[\/tex]
\nPela desigualdade apresentada no Lembrete (3)<\/strong> <\/span> e sabendo que [tex]a\\; ,\\; b\\; [\/tex] e [tex]\\; c\\; [\/tex] s\u00e3o n\u00fameros positivos, temos que:
\n[tex]\\qquad \\boxed{\\dfrac{a+b+c}{3}\\gt \\sqrt[3]{a \\cdot b \\cdot c}}[\/tex]
\ne, assim,
\n[tex]\\qquad \\boxed{\\dfrac{a+b+c}{3}\\gt \\sqrt[3]{72}}[\/tex].
\nComo [tex] \\sqrt[3]{72} \\approx 4,16[\/tex], segue que
\n[tex]\\qquad \\boxed{\\dfrac{a+b+c}{3}\\gt \\sqrt[3]{72} \\gt 4}[\/tex].
\ne, portanto, [tex]a+b+c \\gt 12 .[\/tex]
\nMas observe que [tex]a\\; ,\\; b\\; [\/tex] e [tex]\\; c\\; [\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais e, assim, [tex]a+b+c[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m um n\u00famero natural. Ent\u00e3o podemos concluir que [tex]a+b+c \\geqslant 13[\/tex] .
\nParticularmente, se [tex]a=3,\\; b=4[\/tex] e [tex]\\; c=6[\/tex], ent\u00e3o [tex]a+b+c=13[\/tex]; portanto, o menor valor poss\u00edvel para a soma [tex]\\boxed{a+b+c}[\/tex] \u00e9, de fato, [tex] \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$13$}.[\/tex]<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes FAAPERS<\/strong> e Os Pitag\u00f3ricos MA<\/strong>.<\/div>\n

\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio ) (ONEM 2009 – Adaptado) Sabemos que [tex]a\\; ,\\; b\\; [\/tex] e [tex]\\; c\\; [\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais distintos tais que [tex]\\boxed{a\\cdot b \\cdot c=72}\\; .[\/tex] Qual \u00e9 o menor valor poss\u00edvel para … <\/p>\n

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