{"id":114949,"date":"2018-11-27T21:53:12","date_gmt":"2018-11-27T23:53:12","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=114949"},"modified":"2024-06-07T19:54:53","modified_gmt":"2024-06-07T22:54:53","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-duas-rodas-girando","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-duas-rodas-girando\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Duas rodas girando"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n(ONEM 2009<\/strong> – Adaptado) Na figura vemos as Rodas 1 <\/span> e 2 <\/span> girando.
\nObserve que, enquanto a Roda 1<\/span> gira [tex] 120^{\\circ}[\/tex], a Roda 2<\/span> gira [tex]2\\pi [\/tex] radianos.<\/p>\n

\n\"\"\n<\/p>\n

Quantos cent\u00edmetros mede o raio da Roda 1<\/span>, se a dist\u00e2ncia entre os dois centros [tex]C_1 [\/tex] e [tex]C_2 [\/tex] \u00e9 [tex]160\\, [\/tex]cm?
\nConsidere que as circunfer\u00eancias que definem as duas rodas s\u00e3o tangentes externas.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n\"explicador_p\"<\/p>\n

Ajuda<\/p>\n

A um arco de circunfer\u00eancia podemos associar duas medidas distintas:
\n ✐ <\/span> a sua medida angular (em graus ou radianos), [tex]\\alpha[\/tex];
\n ✐ <\/span> a sua medida linear (em unidades de comprimento), [tex]c[\/tex].
\nConhecida uma delas, a outra pode ser obtida a partir da medida angular e do comprimento da circunfer\u00eancia que define o arco por meio de uma regra de tr\u00eas simples:<\/p>\n

\n\n\n\n
[tex]2\\pi \\, r[\/tex] <\/td>\n ————————————–<\/td>\n [tex]360^\\circ[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n
[tex]c[\/tex] <\/td>\n ————————————–<\/td>\n [tex]\\alpha[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra disso, n\u00e3o faz mal: clique AQUI<\/strong><\/span><\/a>.<\/span> <\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nAp\u00f3s um giro de [tex] 120^{\\circ}[\/tex] da Roda 1<\/span> a partir do ponto de tang\u00eancia [tex]P[\/tex], obtemos a imagem abaixo.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Como a Roda 1<\/span> girou [tex] 120^{\\circ}[\/tex] e a Roda 2<\/span> girou [tex]2\\pi[\/tex] radianos, a partir do ponto [tex]P[\/tex] ficam definidos um arco na circunfer\u00eancia da Roda 1<\/span> cuja medida angular \u00e9 [tex] 120^{\\circ}[\/tex] ou [tex] \\frac{2\\pi}{3}[\/tex] radianos e um arco na circunfer\u00eancia da Roda 2<\/span> cuja medida angular \u00e9 [tex] 360^{\\circ}[\/tex] ou [tex] 2\\pi[\/tex] radianos.
\n\"\"
\nMas, observe que:<\/p>\n

    \n
  • a cada giro de [tex] 120^{\\circ}[\/tex] da Roda 1<\/span>, cada ponto do arco de [tex] \\frac{2\\pi}{3}[\/tex] radianos esteve em contato com o ponto de tang\u00eancia [tex]P,[\/tex]<\/li>\n
  • a cada giro de [tex] 360^{\\circ}[\/tex] da Roda 2<\/span>, cada ponto do arco de [tex] 2\\pi[\/tex] radianos esteve em contato com o ponto de tang\u00eancia [tex]P,[\/tex] <\/li>\n<\/ul>\n

    portanto, os dois arcos t\u00eam o mesmo comprimento, ou seja, a mesma medida linear<\/strong>. [tex]\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
    \nSe voc\u00ea n\u00e3o conseguiu visualizar as duas afirma\u00e7\u00f5es que deram origem \u00e0 conclus\u00e3o de que os arcos descritos nas duas rodas t\u00eam o mesmo comprimento<\/strong>, utilize o applet abaixo. \u00c9 s\u00f3 esperar o aplicativo carregar, movimentar manualmente os bot\u00f5es identificados com as letras gregas [tex]\\textcolor{red}{\\alpha}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#009900}{\\theta}[\/tex] e observar.<\/p>\n