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Problema Sete amigos jogam basquete todos os dias na quadra do condom\u00ednio onde moram. Para cada jogo, eles fazem um sorteio para montar dois times de tr\u00eas jogadores cada e o s\u00e9timo amigo fica como juiz da partida que ser\u00e1 disputada. \n<\/div>\n \n AJUDAS<\/p>\n \n ✏<\/strong> <\/span> Combina\u00e7\u00e3o simples<\/strong>: Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto \u00e9 escolh\u00ea-los levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos \u00e9 denominado uma Combina\u00e7\u00e3o simples<\/em><\/strong>. Quando escolhemos [tex]r[\/tex] dentre [tex]n[\/tex] elementos de um conjunto dessa maneira, dizemos que estamos definindo uma Combina\u00e7\u00e3o simples de [tex]n[\/tex] elementos tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex]. A quantidade desse tipo de agrupamentos \u00e9 denotada por [tex]C_{n,r}[\/tex] ou [tex]C_n^r\\,[\/tex] e assim definida::<\/p>\n [tex]C_{n,r}=C_n^r=\\dfrac{n!}{(n-r)!\\,r!} \\text{, com } n,r\\in\\mathbb{N} \\text{ e } r\\leqslant n[\/tex].<\/p>\n \n ✏<\/strong> <\/span>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo, para duas decis\u00f5es<\/strong>: \n<\/div>\n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n \n ►<\/span> Para formar o primeiro time, ser\u00e3o sorteados tr\u00eas entre os sete amigos e isso pode ser feito de [tex]C_7^3[\/tex] modos distintos, onde [tex]C_7^3[\/tex] indica uma combina\u00e7\u00e3o dos [tex]7[\/tex] elementos tomados [tex]3[\/tex] a [tex]3[\/tex]: [tex]C_7^3=\\binom{7}{3}=\\dfrac{7!}{(7-3)! \\, 3!}.[\/tex] Pelo Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, esses dois sorteios podem ser feitos simultaneamente de \n ►<\/span> Por\u00e9m, precisamos dividir por dois esse resultado, uma vez que um time [tex]A[\/tex] jogar contra um time [tex]B[\/tex] \u00e9 o mesmo que o time [tex]B[\/tex] jogar contra o time [tex]A[\/tex].<\/div>\n Assim, \u00e9 poss\u00edvel formar [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{140}{2}=70 \\, $} \\, [\/tex] pares distintos de times oponentes para um joguinho entre os sete amigos.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Sete amigos jogam basquete todos os dias na quadra do condom\u00ednio onde moram. Para cada jogo, eles fazem um sorteio para montar dois times de tr\u00eas jogadores cada e o s\u00e9timo amigo fica como juiz da partida que ser\u00e1 disputada. Para um jogo entre esses … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
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\nPara um jogo entre esses sete amigos, quantos pares distintos de times oponentes \u00e9 poss\u00edvel formar?<\/p>\n
\nSe uma decis\u00e3o A<\/strong> pode ser tomada de [tex] m [\/tex] maneiras distintas e, tomada essa decis\u00e3o A<\/strong>, uma decis\u00e3o B<\/strong> puder ser tomada de [tex] n [\/tex] maneiras distintas, ent\u00e3o a quantidade de maneiras de se tomar sucessivamente as decis\u00f5es A<\/strong> e B<\/strong> \u00e9 igual a [tex]~\\boxed{ m \\times n}\\, . [\/tex]
\n (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse Princ\u00edpio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo<\/strong><\/a>.)<\/span><\/p>\n
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\n►<\/span> Escolhido o primeiro time, ser\u00e3o sorteados tr\u00eas entre os quatro amigos que restaram, para formar o segundo time. Isso pode ser feito de [tex]C_4^3[\/tex] modos distintos (combina\u00e7\u00e3o de [tex]4[\/tex] elementos tomados [tex]3[\/tex] a [tex]3[\/tex]): [tex]C_4^3=\\binom{4}{3}=\\dfrac{4!}{(4-3)! \\, 3!}.[\/tex]
\n►<\/span> O amigo que sobra ser\u00e1 o juiz.<\/div>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\binom{7}{3} \\cdot \\binom{4}{3} \\cdot 1= \\dfrac{7\\cdot 6 \\cdot 5}{3\\cdot 2 \\cdot 1}\\cdot\\dfrac{4}{1}=140[\/tex] modos distintos.<\/p>\n
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