{"id":114179,"date":"2018-10-19T15:37:25","date_gmt":"2018-10-19T18:37:25","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=114179"},"modified":"2024-06-02T09:19:13","modified_gmt":"2024-06-02T12:19:13","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-ternas-ordenadas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-ternas-ordenadas\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Ternas ordenadas &#8211; um desafio"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=219715\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nDeterminar todas as ternas ordenadas de n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos [tex](x,y,z)[\/tex] tais que <\/p>\n<p style=\"text-align:center\">[tex] \\boxed{\\dfrac{3xy-1}{xyz+1}} \\, [\/tex]<\/p>\n<p>seja um n\u00famero inteiro positivo.\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:27px; width:90%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"65\" height=\"77\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Ajuda<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Se [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros  naturais (ou inteiros), com [tex]n \\ne 0 [\/tex], o que significa [tex] \\dfrac{m}{n} [\/tex]  ser um n\u00famero natural (ou inteiro)?<br \/>\nPor que [tex]\\dfrac {6}{2}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural e  [tex]\\dfrac {5}{4}[\/tex] n\u00e3o \u00e9?<br \/>\nA resposta para essas perguntas (e a dica para o problema) \u00e9, simplesmente, a defini\u00e7\u00e3o de divisor &#8230;<br \/>\nEspecificamente, as respostas da segunda pergunta s\u00e3o:\t<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]6=3\\times 2 \\, [\/tex] e [tex] \\, 3 \\, [\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural.<\/li>\n<li>N\u00e3o existe um n\u00famero natural (ou inteiro) [tex]k[\/tex] tal que  [tex]5=k \\times 4 [\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Para o problema, basta observar que se [tex]\\dfrac{3xy-1}{xyz+1}[\/tex] \u00e9 um  n\u00famero natural, ent\u00e3o [tex]xyz+1 [\/tex] \u00e9 divisor de [tex]3xy-1[\/tex], ou seja, [tex]3xy-1[\/tex] \u00e9 da forma [tex] 3xy-1=k \\times (xyz+1)[\/tex], com [tex]k \\in \\mathbb{N} \\, .[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nComo [tex]\\dfrac{3xy-1}{xyz+1}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural n\u00e3o nulo, ent\u00e3o existe um n\u00famero natural n\u00e3o nulo [tex]n[\/tex] tal que [tex]3xy-1=n(xyz+1).[\/tex]<br \/>\nAssim, segue que<br \/>\n[tex]\\qquad 3xy-1=xyzn+n[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad xy(3-nz)=n+1[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 3-nz=\\dfrac{n+1}{xy}[\/tex],<br \/>\numa vez que [tex]xy \\ne 0 \\, .[\/tex]<br \/>\nMas [tex]\\dfrac{n+1}{xy} \\gt 0[\/tex]; logo,  [tex]3-nz \\gt 0[\/tex], ou ainda, [tex]0\\lt nz  \\lt 3[\/tex],  j\u00e1 que [tex]x,y,n[\/tex] s\u00e3o positivos.<br \/>\nDessa forma, temos que [tex]nz=1 \\, [\/tex] ou [tex] \\, nz=2 \\, .[\/tex]<br \/>\nAgora \u00e9  s\u00f3 analisar as possibilidades para [tex]n[\/tex] e [tex]z[\/tex] e obter os consequentes valores para [tex](x,y)[\/tex], sabendo que [tex]xy=\\dfrac{n+1}{ 3-nz}[\/tex] .<br \/>\nPossibilidades para [tex] \\, n \\, [\/tex] e [tex] \\, z[\/tex]: [tex] \\, \\boxed{n=1 \\, , \\, z=1} \\, [\/tex] ; [tex] \\, \\boxed{n=1 \\, , \\, z=2} \\, [\/tex] ;  [tex] \\, \\boxed{n=2 \\, , \\, z=1} \\, .[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Caso 1:<\/strong> [tex] \\, n=1 \\, , \\, z=1 \\, [\/tex]<br \/>\nComo<br \/>\n[tex]\\qquad xy=\\dfrac{n+1}{ 3-nz}=\\dfrac{2}{ 2}=1[\/tex],<br \/>\nent\u00e3o, s\u00f3 temos uma possibilidade para [tex]x \\, [\/tex] e [tex] \\, y[\/tex]: [tex]x=1 \\, [\/tex] e [tex] \\, y=1[\/tex].<br \/>\nNeste caso, temos a nossa primeira terna ordenada: [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y,z)=(1,1,1)$} \\, .[\/tex]<\/li>\n<li><strong>Caso 2:<\/strong> [tex] \\, n=1 \\, , \\, z=2 \\, [\/tex]<br \/>\nAqui,<br \/>\n[tex]\\qquad xy=\\dfrac{n+1}{ 3-nz}=\\dfrac{2}{ 1}=2[\/tex],<br \/>\nent\u00e3o, temos as seguintes possibilidades para [tex]x \\, [\/tex] e [tex] \\, y[\/tex]: [tex]x=1 \\, [\/tex] e [tex] \\, y=2 \\, [\/tex] ou [tex]x=2 \\, [\/tex] e [tex] \\, y=1 \\, .[\/tex]<br \/>\nNeste caso, temos mais duas  ternas ordenadas: [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y,z)=(1,2,2)$} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y,z)=(2,1,2)$} \\, .[\/tex]<\/li>\n<li><strong>Caso 3:<\/strong> [tex] \\, n=2 \\, , \\, z=1 \\, [\/tex]<br \/>\nAgora,<br \/>\n[tex]\\qquad xy=\\dfrac{n+1}{ 3-nz}=\\dfrac{3}{ 1}=3[\/tex],<br \/>\ne temos as seguintes possibilidades para [tex]x \\, [\/tex] e [tex] \\, y[\/tex]: [tex]x=1 \\, [\/tex] e [tex] \\, y=3 \\, [\/tex] ou [tex]x=3 \\, [\/tex] e [tex] \\, y=1 \\, .[\/tex]<br \/>\nNeste caso, temos outras duas  ternas ordenadas: [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y,z)=(1,3,1)$} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y,z)=(3,1,1)$} \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Portanto, s\u00e3o cinco as ternas ordenadas [tex](x,y,z)[\/tex] que satisfazem as condi\u00e7\u00f5es do problema.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Ternas-ordenadas.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Ternas ordenadas.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Determinar todas as ternas ordenadas de n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos [tex](x,y,z)[\/tex] tais que [tex] \\boxed{\\dfrac{3xy-1}{xyz+1}} \\, [\/tex] seja um n\u00famero inteiro positivo. Ajuda Se [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais (ou inteiros), com [tex]n \\ne 0 [\/tex], &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-ternas-ordenadas\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-114179","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/114179","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=114179"}],"version-history":[{"count":23,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/114179\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":219717,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/114179\/revisions\/219717"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=114179"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}