\n
Problema<\/p>\n
\n<\/div>\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o 1 Portanto, havia [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$6$}[\/tex] pessoas na festa.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2 Seja [tex]n[\/tex] o n\u00famero de pessoas na festa. Para cada aperto de m\u00e3os s\u00e3o necess\u00e1rias duas pessoas e, a princ\u00edpio, poder\u00edamos pensar que haveria<\/p>\n [tex]\\dfrac{n}{^{escolha \\, \\, da \\, \\, primeira \\, \\, pessoa}}^{\\times}\\dfrac{n-1}{^{escolha \\, \\, da \\, \\, segunda \\, \\, pessoa}}=n(n-1)[\/tex] apertos de m\u00e3os.<\/p>\n Contudo, atentem ao fato de que o aperto de m\u00e3os que uma pessoa [tex]A[\/tex] d\u00e1 em uma pessoa [tex]B[\/tex] \u00e9 o mesmo aperto de m\u00e3os que a pessoa [tex]B[\/tex] d\u00e1 na pessoa [tex]A[\/tex]. Logo, contamos cada aperto duas vezes, sendo ent\u00e3o [tex]\\dfrac{n(n-1)}{2}[\/tex] a quantidade correta de apertos de m\u00e3os. ►<\/span> Se voc\u00ea j\u00e1 estudou resolu\u00e7\u00e3o de equa\u00e7\u00f5es do segundo grau, basta expandi-la para a forma [tex]n^2-n-30=0[\/tex] e aplicar a F\u00f3rmula de Resolu\u00e7\u00e3o para esse tipo de equa\u00e7\u00e3o. Voc\u00ea encontrar\u00e1 as ra\u00edzes [tex]6[\/tex] e [tex]-5[\/tex]. \n ►<\/span> Caso ainda n\u00e3o saiba resolver equa\u00e7\u00f5es do segundo grau, pode proceder da seguinte forma: Destes, o \u00fanico par no qual a diferen\u00e7a entre os fatores \u00e9 de uma unidade \u00e9 o \u00faltimo. Logo, [tex]n-1=5[\/tex] e [tex]n=6[\/tex].<\/p><\/div>\n Portanto, havia [tex]6[\/tex] pessoas na festa. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema Em uma festa, todos os convidados se cumprimentam com um aperto de m\u00e3os. Se houve [tex]15[\/tex] apertos de m\u00e3os, quantas pessoas estavam na festa? Solu\u00e7\u00e3o 1 (Indicada a partir do 7\u00ba ano do E. F.) Vamos representar as pessoas que estavam na festa por letras mai\u00fasculas: [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex], etc.; e cada aperto de … <\/p>\n
\n (Indicada a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nVamos representar as pessoas que estavam na festa por letras mai\u00fasculas: [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex], etc.; e cada aperto de m\u00e3os por [tex](A,B)[\/tex], por exemplo.
\nObserve que:<\/p>\n\n
\n
\n (Indicada a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\nPelo enunciado, [tex]\\dfrac{n(n-1)}{2}=15[\/tex], ou seja, [tex]n(n-1)=30[\/tex]. Esta equa\u00e7\u00e3o pode ser resolvida de mais de uma forma. <\/p>\n
\nComo [tex]n[\/tex] \u00e9 uma quantidade positiva, temos [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=6$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\nComo [tex]n[\/tex] e [tex]n-1[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais, a igualdade [tex]n(n-1)=30[\/tex] nos diz que [tex]n[\/tex] e [tex]n-1[\/tex] s\u00e3o divisores de [tex]30[\/tex] que distam uma unidade e cujo produto \u00e9 [tex]30[\/tex]. A resposta \u00e9 simples de sair por tentativas, mas vamos tentar obt\u00ea-la formalmente.
\nExaminando os divisores de [tex]30[\/tex], obtemos:
\n[tex]\\qquad \\hspace{1.8cm}\\underline{\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{1}} \\\\
\n\\qquad \\begin{array}{r|l}
\n30 & 2 & \\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{2}\\\\
\n15 & 3 & \\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{3} \\, \\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{6}\\\\
\n5& 5 &\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{5} \\, \\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{10} \\, \\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{15} \\, \\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{30}\\\\
\n1 & & \\\\ \\end{array}[\/tex]
\nCom esses divisores, formamos quatro pares com produto [tex]30[\/tex]:<\/p>\n\n
\nComent\u00e1rio final:<\/strong> Nesta solu\u00e7\u00e3o, utilizamos implicitamente que [tex]n\\ne 1[\/tex]; pois, repare que se [tex]n=1[\/tex] s\u00f3 ter\u00edamos uma pessoa na festa, o que n\u00e3o faria muito sentido. Portanto, [tex]n[\/tex] deve ser um n\u00famero natural maior do que [tex]1[\/tex]. <\/p>\n
\n