Problema Depois de percorrer um comprimento de arco de [tex]6[\/tex] metros, uma crian\u00e7a deixa de empurrar o balan\u00e7o em que est\u00e1 brincando. Se o atrito diminui a velocidade do balan\u00e7o de modo que o comprimento de arco percorrido seja sempre igual a [tex]80\\%[\/tex] do anterior, calcule a dist\u00e2ncia total percorrida pela crian\u00e7a, em metros, at\u00e9 que o balan\u00e7o pare completamente.<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Vamos escrever a dist\u00e2ncia, em metros, percorrida em cada movimento: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Depois de percorrer um comprimento de arco de [tex]6[\/tex] metros, uma crian\u00e7a deixa de empurrar o balan\u00e7o em que est\u00e1 brincando. Se o atrito diminui a velocidade do balan\u00e7o de modo que o comprimento de arco percorrido seja sempre igual a [tex]80\\%[\/tex] do anterior, calcule … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/Balan\u00e7o-2.jpg\")
<\/p>\n
\n
\n[tex]\\qquad 1\u00b0[\/tex] movimento[tex]\\rightarrow[\/tex] [tex]6[\/tex];
\n[tex]\\qquad 2\u00b0[\/tex] movimento[tex]\\rightarrow[\/tex] [tex](0,8)\\times6[\/tex];
\n[tex]\\qquad 3\u00b0[\/tex] movimento[tex]\\rightarrow[\/tex] [tex](0,8)^2\\times6[\/tex];
\n[tex]\\qquad 4\u00b0[\/tex] movimento[tex]\\rightarrow[\/tex] [tex](0,8)^3\\times6[\/tex];
\n[tex]\\qquad \\vdots[\/tex]
\nEstamos procurando a dist\u00e2ncia total percorrida, ou seja:
\n[tex]\\qquad \\boxed{S=6 + (0,8)\\times6 + (0,8)^2\\times6 + (0,8)^3\\times6 + \\cdots}[\/tex].
\nEssa dist\u00e2ncia [tex]S[\/tex] \u00e9 o limite da soma de uma progress\u00e3o geom\u00e9trica e pode ser calculada pela f\u00f3rmula
\n[tex]\\qquad S=\\dfrac{a_1}{1-q}[\/tex],
\nna qual, no nosso caso, [tex]a_1[\/tex] seria o \u00faltimo comprimento de arco percorrido antes de a crian\u00e7a deixar de empurrar o balan\u00e7o ([tex]a_2[\/tex] seria o primeiro comprimento de arco percorrido ap\u00f3s a crian\u00e7a deixar de empurrar o balan\u00e7o)<\/span> e [tex]q[\/tex] seria [tex]80\\%[\/tex]
\nAssim:
\n[tex]\\qquad S=\\dfrac{6}{1-0,8}=30 \\, m.[\/tex]
\nCorreto? <\/strong>
\nNem tanto. Obviamente, h\u00e1 um problema aqui, pois \u00e9 absurdo conceber que a crian\u00e7a balan\u00e7ar\u00e1 infinitas vezes. Na vida real, algumas a\u00e7\u00f5es f\u00edsicas impossibilitar\u00e3o esta situa\u00e7\u00e3o. Portanto, a resposta encontrada \u00e9 apenas uma aproxima\u00e7\u00e3o.<\/p>\n
\n