{"id":11387,"date":"2013-10-27T00:09:32","date_gmt":"2013-10-27T02:09:32","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=11387"},"modified":"2023-02-16T12:58:02","modified_gmt":"2023-02-16T15:58:02","slug":"desafio-um-quadrado-em-um-triangulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-um-quadrado-em-um-triangulo\/","title":{"rendered":".Desafio: Um quadrado em um tri\u00e2ngulo"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/strong><\/p>\n

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Descobrir um m\u00e9todo geom\u00e9trico para inscrever um quadrado num dado tri\u00e2ngulo qualquer.<\/strong>
\nUm dos lados do quadrado deve estar sobre o maior lado do tri\u00e2ngulo e os outros dois v\u00e9rtices do quadrado devem ficar sobre os outros dois lados do tri\u00e2ngulo, como na figura abaixo.<\/p>\n

<\/span>\"\"\n<\/div>\n

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\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembretes e nota\u00e7\u00f5es<\/p>\n

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(1)<\/strong> <\/span> Caso de Semelhan\u00e7a A.A.<\/strong> (\u00e2ngulo \u2013 \u00e2ngulo): Se dois \u00e2ngulos de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o congruentes a dois \u00e2ngulos de outro tri\u00e2ngulo, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes.
\n (2)<\/strong> <\/span> Em tri\u00e2ngulos semelhantes, os lados correspondentes s\u00e3o proporcionais.
\n (H\u00e1 uma Sala de Ajuda<\/strong><\/a> sobre tri\u00e2ngulos semelhantes no nosso Blog!)<\/span>
\n (3)<\/strong> <\/span> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e o comprimento desse segmento por [tex]XY[\/tex].
\n (4)<\/strong> <\/span> Denotaremos o \u00e2ngulo de v\u00e9rtice [tex]V[\/tex] e definido por dois pontos, digamos [tex]X [\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]X\\widehat{V}Y. [\/tex]\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/strong><\/p>\n

\nInicialmente, no tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] dado (consideremos [tex]\\overline{AC}[\/tex] o maior lado), constru\u00edmos um quadrado que tenha dois de seus v\u00e9rtices sobre [tex]\\overline{AC}[\/tex] e um v\u00e9rtice sobre [tex]\\overline{AB}[\/tex], como ilustra a figura abaixo. Seja [tex]G[\/tex] o quarto v\u00e9rtice do quadrado (observamos que este v\u00e9rtice poderia estar no exterior do tri\u00e2ngulo).<\/p>\n

\"tri\u00e2ngulo<\/p>\n

Feito isto, tra\u00e7amos a reta [tex]AG[\/tex] e definimos o ponto [tex]P[\/tex], intersec\u00e7\u00e3o da reta [tex]AG[\/tex] e [tex]\\overline{BC}[\/tex]. A partir de [tex]P[\/tex], tra\u00e7amos uma reta paralela \u00e0 reta [tex]AC[\/tex] e uma perpendicular \u00e0 reta [tex]AC[\/tex], definindo assim os pontos de interse\u00e7\u00e3o [tex]S[\/tex] e [tex]Q[\/tex], respectivamente (como ilustra a figura abaixo).<\/p>\n

\"tri\u00e2ngulo<\/p>\n

Finalmente, com uma perpendicular \u00e0 reta [tex]AC[\/tex] passando por [tex]S[\/tex], teremos o ponto [tex]R[\/tex], intersec\u00e7\u00e3o da reta [tex]AC[\/tex] com a perpendicular tra\u00e7ada. O quadril\u00e1tero [tex]PQRS[\/tex] \u00e9 a solu\u00e7\u00e3o do problema.<\/p>\n

\"tri\u00e2ngulo<\/p>\n

Por que a solu\u00e7\u00e3o \u00e9 boa?<\/strong><\/p>\n

    \n
  • Reparem que, pela constru\u00e7\u00e3o feita, os tri\u00e2ngulos [tex]APQ[\/tex] e [tex]AGD[\/tex] s\u00e3o semelhantes, j\u00e1 que os \u00e2ngulos [tex]P\\widehat{Q}A[\/tex] e [tex]G\\widehat{D}A[\/tex] t\u00eam a mesma medida (ambos s\u00e3o \u00e2ngulos retos) e [tex]P\\widehat{A}C[\/tex] \u00e9 um \u00e2ngulo comum aos dois tri\u00e2ngulos. Assim, [tex]\\dfrac{PQ}{AP} = \\dfrac{GD}{AG}[\/tex].
    \nOs tri\u00e2ngulos [tex]AFG[\/tex] e [tex]ASP[\/tex] tamb\u00e9m s\u00e3o semelhantes (Que tal voc\u00ea verificar?); assim, da mesma forma, temos que [tex]\\dfrac{SP}{AP} = \\dfrac{FG}{AG}[\/tex].
    \nComo [tex]\\overline{GD}[\/tex] e [tex]\\overline{FG}[\/tex] s\u00e3o lados de um mesmo quadrado, ent\u00e3o [tex]GD=FG[\/tex] e, portanto, conclu\u00edmos que [tex]SP= PQ[\/tex].<\/li>\n
  • Os \u00e2ngulos retos do quadril\u00e1tero [tex]PQRS[\/tex] podem ser verificados por constru\u00e7\u00e3o e por paralelismo. <\/li>\n<\/ul>\n

    Sendo assim, temos que [tex]PQRS[\/tex] \u00e9, de fato, um quadrado, respeitando-se as condi\u00e7\u00f5es estabelecidas pelo problema.<\/p>\n

    \n

    \nPara visualizar a constru\u00e7\u00e3o do quadrado [tex]PQRS[\/tex] resultante desta solu\u00e7\u00e3o, clique no bot\u00e3o abaixo e utilize o applet disponibilizado. <\/p>\n

    \n

    \n <\/p>\n
    \n

    \n

    \n

    Um applet para ilustrar. . . <\/p>\n

    \n

    \nInstru\u00e7\u00f5es:<\/strong>
    \n(1)<\/strong> Espere o aplicativo carregar completamente e clique sucessivamente nos quadradinhos que ir\u00e3o aparecer.
    \n(2)<\/strong> Voc\u00ea poder\u00e1 modificar o tri\u00e2ngulo inicial [tex]ABC[\/tex]; basta clicar com um dos bot\u00f5es do mouse sobre o ponto [tex]B[\/tex], ou [tex]C[\/tex], manter o mouse pressionado e fazer o movimento. Mas, ao fazer modifica\u00e7\u00f5es, lembre-se de que estamos considerando [tex]\\overline{AC}[\/tex] o maior lado do tri\u00e2ngulo.
    \n(3)<\/strong> Para retornar \u00e0 configura\u00e7\u00e3o inicial, clique nas setinhas que aparecem no canto superior direito do aplicativo. <\/p>\n

    \n