{"id":113764,"date":"2018-10-04T21:46:45","date_gmt":"2018-10-05T00:46:45","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=113764"},"modified":"2023-05-11T00:16:40","modified_gmt":"2023-05-11T03:16:40","slug":"desafio-solucao-natural","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-solucao-natural\/","title":{"rendered":".Desafio: Solu\u00e7\u00e3o natural"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

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Mostre que a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^3-7y^2=5 [\/tex] n\u00e3o possui solu\u00e7\u00e3o formada por n\u00fameros naturais. <\/p>\n

\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

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Suponhamos que exista uma solu\u00e7\u00e3o para a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^3-7y^2=5 [\/tex], com [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] sendo n\u00fameros naturais.[tex] \\, \\, \\\\[\/tex]<\/strong> <\/span>
\nObserve que podemos rescrever a equa\u00e7\u00e3o original como [tex]x^3-5=7y^2.[\/tex] Com isso, como o n\u00famero [tex]7y^2[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]7[\/tex], o n\u00famero [tex]x^3-5[\/tex] tamb\u00e9m dever\u00e1 ser um m\u00faltiplo de [tex]7[\/tex].
\nPelo algoritmo da divis\u00e3o, podemos escrever [tex]x=7q+r[\/tex], com [tex]q,r\\in \\mathbb{N}[\/tex] e [tex]0\\leq r \\lt 7[\/tex]. Assim:
\n[tex] \\, \\, \\, \\, \\\\
\n\\qquad x^3=(7q+r)^3=7^3+3(7q)^2r+3(7q)r^2+r^3=7(7^2+21q^2r+3qr^2)+r^3\\\\
\n\\\\[\/tex]
\ne, com isso,
\n[tex] \\, \\, \\\\
\n\\qquad \\boxed{x^3-5}=(7q+r)^3-5=\\boxed{7(7^2q^3+21q^2r+3qr^2)}+\\boxed{r^3-5}.\\\\
\n[\/tex]
\nComo [tex]\\boxed{x^3-5}[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]7[\/tex] e [tex]\\boxed{7(7^2q^3+21q^2r+3qr^2)}[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]7[\/tex], segue que [tex]\\boxed{r^3-5}[\/tex] deve ser um m\u00faltiplo de [tex]7[\/tex] tamb\u00e9m.
\nComo [tex]0\\leq r \\lt 7[\/tex], vamos observar os valores [tex]r^3-5[\/tex] para cada valor de [tex]r[\/tex]:<\/p>\n