{"id":113689,"date":"2018-10-19T22:41:23","date_gmt":"2018-10-20T01:41:23","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=113689"},"modified":"2024-06-07T19:10:41","modified_gmt":"2024-06-07T22:10:41","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-uma-regra-curiosa","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-uma-regra-curiosa\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Uma regra curiosa"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=219967\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#915F6D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n(<strong>XXX OPM<\/strong> &#8211; Adaptado) Fernanda estava brincando com algumas caixas coloridas de papel\u00e3o que ela  ganhou.<br \/>\nDepois de enfileir\u00e1-las, decidiu marcar cada caixa com um n\u00famero inteiro, segundo uma regra curiosa: <\/p>\n<ul>\n<li>A primeira caixa foi marcada com o n\u00famero [tex]1[\/tex].<\/li>\n<li>A partir da primeira, o n\u00famero com que Fernanda marcou cada caixa foi a soma dos n\u00fameros com que ela marcou a caixa anterior e a seguinte.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/prob227.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"684\" height=\"117\" class=\"aligncenter size-full wp-image-114840\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/prob227.png 684w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/prob227-300x51.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 684px) 100vw, 684px\" \/><\/p>\n<p>Quantas caixas Fernanda conseguiu marcar sem repetir n\u00fameros j\u00e1 utilizados?\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nSuponha que a segunda caixa tenha sido marcada com o n\u00famero  [tex]x.[\/tex]<br \/>\nDessa forma:<\/p>\n<ul>\n<li>A terceira foi marcada assim<br \/>\n[tex]\\quad 1\\quad \\boxed{x} \\quad \\boxed {t_3=x-1}[\/tex],<br \/>\nj\u00e1 que [tex]x=1+t_3[\/tex].<\/li>\n<li>A  quarta caixa foi marcada assim<br \/>\n[tex]\\quad 1\\quad \\boxed{x} \\quad \\boxed {x-1} \\quad \\boxed{t_4=-1}[\/tex],<br \/>\nj\u00e1  que  [tex]t_4+x=x-1[\/tex].<\/li>\n<li>A  quinta  caixa foi marcada assim<br \/>\n[tex]\\quad 1\\quad \\boxed{x} \\quad \\boxed {x-1} \\quad \\boxed{-1} \\quad \\boxed {t_5=-x} [\/tex],<br \/>\nj\u00e1  que  [tex]t_5+x-1=-1[\/tex].<\/li>\n<li>A  sexta  caixa foi marcada assim<br \/>\n[tex]\\quad 1\\quad \\boxed{x} \\quad \\boxed {x-1} \\quad \\boxed{-1} \\quad \\boxed {-x} \\quad \\boxed{t_6=-x+1}     [\/tex],<br \/>\nj\u00e1  que  [tex]t_6-1=-x[\/tex].<\/li>\n<li>A  s\u00e9tima  caixa foi marcada assim<br \/>\n[tex]\\quad \\fcolorbox{black}{#FFD700}{$1$}\\quad \\boxed{x} \\quad \\boxed {x-1} \\quad \\boxed{-1} \\quad \\boxed {-x} \\quad \\boxed{-x+1}    \\quad \\fcolorbox{black}{#FFD700}{$t_7=1$} [\/tex],<br \/>\nj\u00e1  que  [tex]t_7-x=-x+1 [\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Perceba, ent\u00e3o, que a s\u00e9tima caixa necessariamente tem numera\u00e7\u00e3o repetida;  mas, dependendo do [tex]x[\/tex], existem outras situa\u00e7\u00f5es nas quais a numera\u00e7\u00e3o repetida ocorre antes. Vejamos:<\/p>\n<ul>\n<li>Se  [tex]x=1 [\/tex], j\u00e1 a segunda caixa ter\u00e1 numera\u00e7\u00e3o repetida.<br \/>\n[tex]\\quad \\fcolorbox{black}{#FFD700}{$1$}\\quad  \\, \\fcolorbox{black}{#FFD700}{$1$} \\quad \\boxed{0}[\/tex]<\/li>\n<li>Se  [tex]x=2 [\/tex], a terceira caixa ter\u00e1 numera\u00e7\u00e3o repetida.<br \/>\n[tex]\\quad \\fcolorbox{black}{#FFD700}{$1$}\\quad \\boxed{2} \\quad  \\, \\fcolorbox{black}{#FFD700}{$1$}[\/tex]<\/li>\n<li>Se  [tex]x=-1 [\/tex], a quarta caixa ter\u00e1 numera\u00e7\u00e3o repetida.<br \/>\n[tex]\\quad \\boxed{1}\\quad  \\, \\fcolorbox{black}{#ffa888}{$-1$} \\quad \\boxed{-2}\\quad  \\, \\fcolorbox{black}{#ffa888}{$-1$}[\/tex]<\/li>\n<li>Se  [tex]x=0 [\/tex], a quarta caixa ter\u00e1 numera\u00e7\u00e3o repetida.<br \/>\n[tex]\\quad  \\boxed{1}\\quad  \\boxed{0}\\quad  \\, \\fcolorbox{black}{#a4c9a4}{$-1$} \\quad  \\, \\fcolorbox{black}{#a4c9a4}{$-1$}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Portanto, excluindo os casos isolados [tex]x=1 [\/tex], [tex]x=2 [\/tex], [tex]x=-1 [\/tex] e [tex]x=0 [\/tex], conclu\u00edmos que, para quaisquer outros valores de [tex]x[\/tex], <strong>a s\u00e9tima caixa ter\u00e1  numera\u00e7\u00e3o repetida pela primeira vez<\/strong> e, assim, Fernanda conseguiu marcar seis caixas sem repetir nenhum n\u00famero j\u00e1 utilizado.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g3\">\nParticipou da discuss\u00e3o o Clube: <strong>Faapers<\/strong>.<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Uma-regra-curiosa.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Uma regra curiosa.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil) (XXX OPM &#8211; Adaptado) Fernanda estava brincando com algumas caixas coloridas de papel\u00e3o que ela ganhou. Depois de enfileir\u00e1-las, decidiu marcar cada caixa com um n\u00famero inteiro, segundo uma regra curiosa: A primeira &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-uma-regra-curiosa\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-113689","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/113689","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=113689"}],"version-history":[{"count":48,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/113689\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":219970,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/113689\/revisions\/219970"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=113689"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}