{"id":113404,"date":"2018-10-19T23:17:21","date_gmt":"2018-10-20T02:17:21","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=113404"},"modified":"2023-05-11T00:42:17","modified_gmt":"2023-05-11T03:42:17","slug":"problemao-recipiente-conico","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-recipiente-conico\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Recipiente C\u00f4nico"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\n

(UERJ<\/strong>-2010) A figura abaixo representa um recipiente c\u00f4nico com uma solu\u00e7\u00e3o aquosa de hipoclorito de s\u00f3dio a [tex]27\\%[\/tex]. O n\u00edvel desse l\u00edquido tem [tex]12[\/tex] cm de altura.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solu\u00e7\u00e3o inicial com \u00e1gua, at\u00e9 complementar o recipiente, obtendo-se a solu\u00e7\u00e3o aquosa de hipoclorito de s\u00f3dio a [tex]8\\%[\/tex].
\nQual a altura [tex]H[\/tex] desse recipiente em cent\u00edmetros? <\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Ajuda<\/p>\n

\n

O volume do cone circular reto \u00e9 um ter\u00e7o do produto entre a \u00e1rea da sua base e a medida da sua altura:
\n\"\"
\n[tex]\\qquad \\qquad \\dfrac{\\text{\u00e1rea da base} \\times \\text{altura}}{3}. [\/tex]
\nSe [tex]h[\/tex] for o comprimento da altura e [tex]r[\/tex] o do raio da base, ent\u00e3o
\n[tex]\\qquad \\qquad Volume= \\dfrac{\\pi r^2h}{3}. [\/tex]<\/p>\n

\n
\n\"\"<\/p>\n

Observa\u00e7\u00e3o importante<\/strong> <\/p>\n

Neste problema, podemos estabelecer a rela\u00e7\u00e3o entre os raios da base dos dois cones que aparecem na figura dada.
\nSuponhamos que esses raios me\u00e7am, em cent\u00edmetros, [tex]r[\/tex] e [tex]R[\/tex], conforme mostra a figura ao lado.
\nNeste caso, pela semelhan\u00e7a entre os tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos de bases com comprimentos [tex]r[\/tex] e [tex]R[\/tex] e respectivas alturas [tex]12[\/tex] e [tex]H[\/tex], obtemos:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\, \\fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$\\dfrac{r}{R}=\\dfrac{12}{H}$} \\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nObserve que a concentra\u00e7\u00e3o inicial de hipoclorito de s\u00f3dio na solu\u00e7\u00e3o aquosa \u00e9 de [tex]27\\%[\/tex] e queremos que essa concentra\u00e7\u00e3o passe a ser de [tex]8\\%[\/tex].
\nSuponhamos, ent\u00e3o, que [tex]V[\/tex] seja o volume de hipoclorito presente na primeira solu\u00e7\u00e3o aquosa e que, na dilui\u00e7\u00e3o com \u00e1gua, o percentual de [tex]27\\%[\/tex] tenha sido em rela\u00e7\u00e3o a um volume inicial total [tex]V_i[\/tex] (\u00e1gua+hipoclorito).
\nTalvez uma regrinha de tr\u00eas ajude no entendimento desses volumes [tex]V[\/tex] e [tex]V_i[\/tex]:<\/p>\n

\n[tex]\\begin{array}{ccc}
\nV_i&\\overline{ \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, } &100 \\%\\\\
\nV& \\overline{ \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, }&27\\%\\end{array}[\/tex]<\/p>\n\n\n
\nAssim, a concentra\u00e7\u00e3o inicial de hipoclorito de s\u00f3dio na solu\u00e7\u00e3o aquosa pode ser expressa como:
\n[tex]\\qquad C=\\dfrac{V}{V_i}=27\\%[\/tex]
\ndonde
\n[tex]\\qquad V=27\\%\\times V_i \\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/td>\n		\n

Uma concentra\u00e7\u00e3o de [tex]27\\%[\/tex] de hipoclorito de s\u00f3dio na solu\u00e7\u00e3o aquosa significa que "para cada litro de solu\u00e7\u00e3o temos [tex]270 \\, ml [\/tex] de hipoclorito".<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Com o acr\u00e9scimo de mais \u00e1gua, o percentual em rela\u00e7\u00e3o ao volume total final, [tex]V_f[\/tex], foi de [tex]8\\%[\/tex]; por\u00e9m, a quantidade de hipoclorito continua sendo [tex]V[\/tex].
\nFicamos, portanto, com a seguinte regra de tr\u00eas:<\/p>\n

\n[tex]\\begin{array}{ccc}
\nV_f&\\overline{ \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, } &100 \\%\\\\
\nV& \\overline{ \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, }&8\\%\\end{array}[\/tex]<\/p>\n\n\n
\nA concentra\u00e7\u00e3o final de hipoclorito de s\u00f3dio na solu\u00e7\u00e3o aquosa pode ser expressa como:
\n[tex]\\qquad C=\\dfrac{V}{V_f}=8\\%[\/tex]
\ndonde
\n[tex]\\qquad V=8\\%\\times V_f \\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]<\/td>\n		\n

A concentra\u00e7\u00e3o de [tex]8\\%[\/tex] de hipoclorito de s\u00f3dio na solu\u00e7\u00e3o aquosa significa que "para cada litro de solu\u00e7\u00e3o temos [tex]80 \\, ml [\/tex] de hipoclorito".<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Por [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] obtemos a rela\u00e7\u00e3o entre [tex]V_i \\, [\/tex] e [tex] \\, V_f[\/tex]:
\n[tex] \\, \\, \\\\
\n\\qquad 27\\%\\times V_i=V=8\\%\\times V_f\\\\
\n\\qquad\\dfrac{V_i}{V_f}=\\dfrac{8}{27}\\\\
\n [\/tex]
\ne essa rela\u00e7\u00e3o, juntamente com a raz\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex], nos permitir\u00e1 finalizar a solu\u00e7\u00e3o do problema. Observe:
\n[tex] \\, \\, \\\\
\n\\qquad \\dfrac{V_i}{V_f}=\\dfrac{8}{27}\\\\
\n \\, \\, \\\\
\n\\qquad \\dfrac{\\frac{12 \\pi r^2}{3}}{\\frac{H \\pi R^2}{3}}=\\dfrac{8}{27}\\\\
\n \\, \\, \\\\
\n\\qquad \\dfrac{12 \\pi r^2}{H \\pi R^2}=\\dfrac{8}{27}\\\\
\n \\, \\, \\\\
\n\\qquad \\dfrac{12 r^2}{H R^2}=\\dfrac{8}{27}\\\\
\n \\, \\, \\\\
\n\\qquad \\dfrac{12}{H}\\left(\\dfrac{r}{R}\\right)^2=\\dfrac{8}{27}\\\\
\n \\, \\, \\\\
\n\\qquad \\dfrac{12}{H}\\left(\\dfrac{12}{H}\\right)^2\\stackrel{\\textcolor{#800000}{(i)}}{=}\\dfrac{8}{27}\\\\
\n \\, \\, \\\\
\n\\qquad \\left(\\dfrac{12}{H}\\right)^3=\\dfrac{8}{27}\\\\
\n \\, \\, \\\\
\n\\qquad H^3=\\dfrac{12^3 \\times 27}{8}\\\\
\n \\, \\, \\\\
\n\\qquad H^3=5832\\\\
\n \\, \\, \\\\
\n\\qquad H=18.[\/tex]
\nDessa forma, a altura [tex]H[\/tex] do recipiente em quest\u00e3o \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$H=18 \\, cm$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.) (UERJ-2010) A figura abaixo representa um recipiente c\u00f4nico com uma solu\u00e7\u00e3o aquosa de hipoclorito de s\u00f3dio a [tex]27\\%[\/tex]. O n\u00edvel desse l\u00edquido tem [tex]12[\/tex] cm de altura. Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solu\u00e7\u00e3o inicial com \u00e1gua, at\u00e9 complementar o recipiente, obtendo-se a … <\/p>\n

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