{"id":112566,"date":"2018-10-19T23:05:23","date_gmt":"2018-10-20T02:05:23","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=112566"},"modified":"2024-06-07T19:13:50","modified_gmt":"2024-06-07T22:13:50","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-um-multiplo-de-45","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-multiplo-de-45\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Um m\u00faltiplo de 45"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=219971\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#915F6D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: F\u00e1cil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n(<strong>Junior Mathematical Olympiad 2010<\/strong>) Um n\u00famero de oito d\u00edgitos [tex] \\,  \\boxed{M=aaaabbbb} \\, [\/tex]  \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]45[\/tex].<br \/>\nQuais os poss\u00edveis valores para o algarismo [tex]a[\/tex]?<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:25px; width:85%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Ajuda<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>Divisibilidade por 45:<\/strong> Um n\u00famero natural [tex]n[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por  [tex]45[\/tex] se, e somente se,  [tex]n[\/tex] for divis\u00edvel simultaneamente por [tex]5[\/tex] e [tex]9[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 4px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 4px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align:center; margin:10px\"><strong>Observa\u00e7\u00e3o importante<\/strong> <\/p>\n<p>Cuidado com uma poss\u00edvel generaliza\u00e7\u00e3o desse crit\u00e9rio: observe que [tex]36[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel simultaneamente por [tex]4[\/tex] e [tex]6[\/tex], mas [tex]36[\/tex] n\u00e3o \u00e9 divis\u00edvel por [tex]24=4\\cdot 6.[\/tex]<br \/>\nIsso acontece porque o m\u00e1ximo divisor comum entre [tex]4[\/tex] e [tex]6[\/tex] \u00e9 diferente de [tex]1.[\/tex]<br \/>\nUma generaliza\u00e7\u00e3o correta seria a seguinte:<\/p>\n<ul>\n<li>Sejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros naturais tais que [tex]mdc(a,b)=1.[\/tex]<br \/>\nUm n\u00famero natural [tex]n[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por  [tex]a\\cdot b[\/tex] se, e somente se,  [tex]n[\/tex] for divis\u00edvel simultaneamente por [tex] \\, a \\, [\/tex] e [tex] \\, b.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nPelo crit\u00e9rio de divisibilidade apresentado na <strong>Ajuda<\/strong>, o n\u00famero natural [tex]M[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de  [tex]45[\/tex] se, e somente se,  [tex]M[\/tex] for m\u00faltiplo simultaneamente de [tex]5[\/tex] e [tex]9.[\/tex]  Vamos ent\u00e3o analisar essas duas hip\u00f3teses separadamente.<\/p>\n<ul>\n<li>Como [tex]M[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex], ent\u00e3o o \u00faltimo algarismo de [tex]M[\/tex] \u00e9 [tex]0[\/tex] ou [tex]5.[\/tex] Com isso, <\/li>\n<ul>\n<li>[tex]b=0[\/tex] ou [tex]b=5.\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<li>Como [tex]M[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex], ent\u00e3o a soma dos d\u00edgitos de [tex]M[\/tex] deve ser um m\u00faltiplo de  [tex]9[\/tex],  ou seja, [tex]a+a+a+a+b+b+b+b=4\\left(a+b\\right)[\/tex]  \u00e9 divis\u00edvel por [tex]9.[\/tex]<br \/>\nComo [tex]4[\/tex] n\u00e3o tem fator comum com [tex]9[\/tex], ent\u00e3o, para que [tex]4\\left(a+b\\right)[\/tex] seja divis\u00edvel por [tex]9[\/tex], \u00e9 necess\u00e1rio que [tex]a+b[\/tex] seja divis\u00edvel por [tex]9.[\/tex]<br \/>\nMas [tex]a  \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] s\u00e3o algarismos e [tex]a\\ne 0[\/tex] <span style=\"font-size:11px;\">(Lembre-se de que [tex]a[\/tex] \u00e9 o primeiro algarismo de um n\u00famero com oito d\u00edgitos.)<\/span>, ent\u00e3o [tex]0 \\lt a+b \\leqslant 18.[\/tex] Dessa forma, para que [tex]a+b[\/tex] seja divis\u00edvel por [tex]9[\/tex] temos duas possibilidades:<\/li>\n<ul>\n<li>[tex]a+b=9 \\,  [\/tex] ou [tex] \\, a+b=18.\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p>Dessa maneira, analisando simultaneamente [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex] \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], temos que:<\/p>\n<ul>\n<li>Se [tex]b=0[\/tex], ent\u00e3o [tex]a=9 \\, [\/tex] ou [tex]a=18.[\/tex] No entanto, [tex]a[\/tex] \u00e9 um algarismo; consequentemente, [tex]a[\/tex] n\u00e3o pode ser [tex]18[\/tex].  <\/li>\n<li>Se [tex]b=5[\/tex], ent\u00e3o [tex]a=4 \\, [\/tex]  ou [tex]a=13.[\/tex] Observe que  [tex]a[\/tex] \u00e9 um algarismo; logo, [tex]a[\/tex] tamb\u00e9m n\u00e3o pode ser [tex]13[\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Pelo exposto, vemos que existem apenas dois valores poss\u00edveis para [tex]a[\/tex]: [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=9$} \\, [\/tex] ou [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=4$} \\, .[\/tex] <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"g3\">\nParticipou da discuss\u00e3o o Clube <strong>OCTETO MATEM\u00c1TICO<\/strong>.<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Um-m\u00faltiplo-de-45.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Um m\u00faltiplo de 45.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n<div style=\"clear: both;\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: F\u00e1cil) (Junior Mathematical Olympiad 2010) Um n\u00famero de oito d\u00edgitos [tex] \\, \\boxed{M=aaaabbbb} \\, [\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]45[\/tex]. Quais os poss\u00edveis valores para o algarismo [tex]a[\/tex]? 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