{"id":112169,"date":"2018-09-19T18:11:58","date_gmt":"2018-09-19T21:11:58","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=112169"},"modified":"2023-05-09T04:36:44","modified_gmt":"2023-05-09T07:36:44","slug":"problema-o-maior-angulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-o-maior-angulo\/","title":{"rendered":".Problema: O maior \u00e2ngulo"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n(FONTE: <strong>OBM<\/strong>) Calcular a medida do maior \u00e2ngulo de um tri\u00e2ngulo cujas alturas medem [tex]12, 15[\/tex] e [tex]20[\/tex]. <\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:90%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Lembretes <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(1)}[\/tex] A \u00e1rea de um tri\u00e2ngulo \u00e9 dada por<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{\\dfrac{base\\cdot altura}{2}} \\, .[\/tex]<br \/>\n[tex]\\textcolor{#800000}{(2)}[\/tex] A <strong>Rela\u00e7\u00e3o de Pit\u00e1goras<\/strong> \u00e9 uma condi\u00e7\u00e3o necess\u00e1ria e suficiente para um tri\u00e2ngulo ser tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo. Isso significa duas coisas:<\/p>\n<ul>\n<li>Se um tri\u00e2ngulo \u00e9 um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, ent\u00e3o o quadrado do comprimento de um dos lados \u00e9 a soma dos quadrados dos respectivos comprimentos dos outros dois.<\/li>\n<li>Se em um tri\u00e2ngulo o quadrado do comprimento de um dos lados \u00e9 a soma dos quadrados dos respectivos comprimentos dos outros dois, ent\u00e3o ele \u00e9 um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Podemos reunir as duas informa\u00e7\u00f5es em uma s\u00f3 frase e escrever:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Um tri\u00e2ngulo cujas medidas dos lados s\u00e3o [tex]a, b, c[\/tex] \u00e9 um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo se, e somente se, [tex]a^2=b^2+c^2 \\, .[\/tex]<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:33px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nSejam [tex]a, b, c[\/tex] as medidas dos lados de um tri\u00e2ngulo e [tex]h_a, h_b, h_c[\/tex] as medidas das alturas relativas a esses lados, respectivamente. Assim, como a \u00e1rea [tex]A[\/tex] desse tri\u00e2ngulo n\u00e3o depende do lado que tomamos como base, devemos ter<br \/>\n[tex]\\qquad A=\\dfrac{a\\cdot h_a}{2}=\\dfrac{b\\cdot h_b}{2}=\\dfrac{c\\cdot h_c}{2} \\, .[\/tex]<br \/>\nUtilizando os dados do enunciado, obtemos:<br \/>\n[tex]\\qquad \\dfrac{20a}{2}=\\dfrac{15b}{2} =\\dfrac{12c}{2}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 20a=15b=12c[\/tex]<br \/>\n[tex] \\qquad \\dfrac{a}{3}=\\dfrac{b}{4}= \\dfrac{c}{5},[\/tex]<br \/>\no que nos leva a concluir que o tri\u00e2ngulo em quest\u00e3o \u00e9 semelhante a um tri\u00e2ngulo de lados [tex]3, 4, 5[\/tex].<br \/>\nComo [tex]5^2=3^3+4^2[\/tex], o tri\u00e2ngulo em quest\u00e3o \u00e9 ret\u00e2ngulo e, portanto, a medida de seu maior \u00e2ngulo \u00e9  [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$90^\\circ$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (FONTE: OBM) Calcular a medida do maior \u00e2ngulo de um tri\u00e2ngulo cujas alturas medem [tex]12, 15[\/tex] e [tex]20[\/tex]. 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