{"id":111847,"date":"2018-09-23T19:38:40","date_gmt":"2018-09-23T22:38:40","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=111847"},"modified":"2024-06-02T09:07:50","modified_gmt":"2024-06-02T12:07:50","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-a-escada-encostada-no-muro","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-a-escada-encostada-no-muro\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: A escada encostada no muro"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n(A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil <\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

Um cubo com arestas de um metro cada est\u00e1 encostado em um muro vertical.
\nUma escada de comprimento [tex]\\sqrt{15}[\/tex] metros est\u00e1 apoiada no muro e toca a aresta livre do cubo, conforme indica a vista lateral da escada tocando o piso, o cubo e a parede, mostrada na figura abaixo.
\nQual a altura m\u00e1xima, com rela\u00e7\u00e3o ao piso, que o extremo superior da escada pode alcan\u00e7ar?<\/p>\n

\"\"\n<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n

Vamos supor que o extremo superior da escada esteja a uma altura de [tex]h[\/tex] metros e que a dist\u00e2ncia do p\u00e9 da escada at\u00e9 a parede seja [tex]d[\/tex] metros.
\nAssim, utilizando o Teorema de Pit\u00e1goras, obtemos uma primeira equa\u00e7\u00e3o:
\n[tex]\\qquad \\, \\fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$h^2+d^2=\\left(\\sqrt{15}\\right)^2=15$}\\, . \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nEssa equa\u00e7\u00e3o registra uma posi\u00e7\u00e3o fixa da escada; vamos, ent\u00e3o buscar uma equa\u00e7\u00e3o que envolva os deslocamentos da escada. Para isso, vamos supor que o extremo superior da escada esteja a uma dist\u00e2ncia de [tex]x[\/tex] metros do cubo e que a dist\u00e2ncia do p\u00e9 da escada ao cubo seja [tex]z[\/tex] metros, de acordo com a figura abaixo.<\/p>\n

\"\"
\nAssim:
\n[tex]\\qquad h=x+1 \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\n[tex]\\qquad d=z+1. \\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Por outro lado, [tex]BCEF[\/tex] \u00e9 a vista lateral do cubo no qual a escada est\u00e1 encostada, ent\u00e3o [tex]BCEF[\/tex] \u00e9 um quadrado de lado [tex]1[\/tex] metro.
\nObserve tamb\u00e9m que os segmentos [tex]\\overline{CB}\\, [\/tex] e [tex]\\, \\overline{DF}[\/tex] s\u00e3o paralelos, logo os tri\u00e2ngulos [tex]ABC\\, [\/tex] e [tex]\\, CED[\/tex] s\u00e3o semelhantes e fornecem a seguinte propor\u00e7\u00e3o entre os lados correspondentes:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{x}{1}=\\dfrac{1}{z}[\/tex],
\ndonde
\n[tex]\\qquad xz=1. \\qquad \\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex]
\nFazendo a multiplica\u00e7\u00e3o das equa\u00e7\u00f5es [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}\\, [\/tex] e [tex]\\, \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] temos que:
\n[tex]\\qquad hd=xz+x+z+1. \\qquad \\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex]
\nSubstituindo [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}\\, [\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(v)}\\, [\/tex] e utilizando mais uma vez as igualdades [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}\\, [\/tex] e [tex]\\, \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex], obtemos uma equa\u00e7\u00e3o fundamental para a solu\u00e7\u00e3o do problema:
\n[tex]\\qquad hd=1+x+z+1[\/tex]
\n[tex]\\qquad hd=\\underbrace{(x+1)}_{h}+\\underbrace{(z+1)}_{d}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\, \\fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$ hd=h+d$}. \\qquad \\textcolor{#800000}{(vi)}[\/tex]
\nComo n\u00e3o temos mais informa\u00e7\u00f5es geom\u00e9tricas relevantes, vamos atacar algebricamente o problema.
\nElevando ao quadrado ambos os lados da igualdade [tex]\\textcolor{#800000}{(vi)}\\, [\/tex] e, em seguida, utilizando a igualdade [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}\\, [\/tex], vemos que:
\n[tex]\\qquad \\left(hd\\right)^2=\\left(h+d\\right)^2[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\left(hd\\right)^2=\\left(h^2+d^2\\right)+2hd[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\left(hd\\right)^2\\stackrel{\\textcolor{#800000}{(i)}}{=}15+2hd[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\left(hd\\right)^2-2\\left(hd \\right)-15=0. \\qquad \\textcolor{#800000}{(vii)}[\/tex]
\nSe fizermos [tex]y=hd[\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(vii)}\\, [\/tex], obtemos a equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex]y^2-2y-15=0[\/tex], cujas ra\u00edzes s\u00e3o:
\n[tex]\\qquad y=\\dfrac{2 \\pm \\sqrt{4+60}}{2}=\\dfrac{2 \\pm 8}{2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad y_1=5\\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad y_2=-3. [\/tex]
\nComo [tex]y=hd\\, [\/tex] e [tex]h[\/tex] e [tex]d[\/tex] representam comprimentos, conclu\u00edmos que [tex]\\boxed{y=hd=5}.[\/tex]
\nSubstituindo essa igualdade em [tex]\\textcolor{#800000}{(vi)}\\, [\/tex], resulta que:
\n[tex]\\qquad hd=h+d[\/tex]
\n[tex]\\qquad 5=h+\\dfrac{5}{h}[\/tex]
\n[tex]\\qquad 5h=h^2+5[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\boxed{h^2-5h+5=0}\\, .[\/tex]
\nTemos mais uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau, s\u00f3 que, desta feita, as ra\u00edzes dessa equa\u00e7\u00e3o fornecem posi\u00e7\u00f5es do extremo superior da escada, com rela\u00e7\u00e3o ao piso onde ela est\u00e1 apoiada. As ra\u00edzes dessa equa\u00e7\u00e3o s\u00e3o:
\n[tex]\\qquad h=\\dfrac{5 \\pm \\sqrt{25-20}}{2}=\\dfrac{5 \\pm \\sqrt{5}}{2}\\\\\\, [\/tex]
\n[tex]\\\\
\n\\qquad h_1=\\dfrac{5 +\\sqrt{5}}{2}\\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad h_2=\\dfrac{5 -\\sqrt{5}}{2}.[\/tex]
\nTanto [tex]h_1[\/tex] como [tex]h_2[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros positivos, assim representam alturas a que est\u00e1 o extremo superior da escada. No entanto, queremos a maior altura [tex]h[\/tex], portanto a resposta do problema \u00e9 [tex]h=\\dfrac{5 +\\sqrt{5}}{2} [\/tex], ou seja, a altura m\u00e1xima, com rela\u00e7\u00e3o ao piso, que o extremo superior da escada pode alcan\u00e7ar \u00e9 aproximadamente [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$3,6\\, metros$}\\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil ) Um cubo com arestas de um metro cada est\u00e1 encostado em um muro vertical. Uma escada de comprimento [tex]\\sqrt{15}[\/tex] metros est\u00e1 apoiada no muro e toca a aresta livre do cubo, conforme … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-111847","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/111847","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=111847"}],"version-history":[{"count":76,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/111847\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":219702,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/111847\/revisions\/219702"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=111847"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}