{"id":111646,"date":"2018-09-23T19:34:55","date_gmt":"2018-09-23T22:34:55","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=111646"},"modified":"2024-06-02T09:01:36","modified_gmt":"2024-06-02T12:01:36","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-catetos-de-um-triangulo-retangulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-catetos-de-um-triangulo-retangulo\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Catetos de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=219691\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:24px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio <\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nEm um dado  tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, a hipotenusa mede [tex]25 \\, \\text{cm}[\/tex] e a altura relativa a ela mede [tex]12 \\, \\text{cm}\\, .[\/tex]<br \/>\nQual \u00e9 a medida de cada cateto desse tri\u00e2ngulo?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:80&#038;; margin-left:auto; margin-right:auto; \">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"70\" height=\"84\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/><\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px;margin:10px\"> Lembretes<\/p>\n<p>Vamos resolver este problema utilizando apenas resultados bem conhecidos da Geometria:<br \/>\n<span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"><strong> &#10000;<\/strong> <\/span> <strong>Teorema de Pit\u00e1goras:<\/strong> Em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, o quadrado da hipotenusa \u00e9 a soma dos quadrados dos catetos.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"><strong> &#10000;<\/strong> <\/span> <strong>\u00c1rea do tri\u00e2ngulo<\/strong>:[tex]\\dfrac{\\text{base $\\times$ altura}}{2}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Vamos supor que os catetos de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo cuja hipotenusa mede [tex]25 \\, \\text{cm}[\/tex] e a altura relativa a ela mede [tex]12 \\, \\text{cm}\\, [\/tex] tenham comprimentos [tex]a \\, \\text{cm}[\/tex] e [tex]b \\, \\text{cm}[\/tex], conforme vemos na figura abaixo.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/prob219.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"392\" height=\"206\" class=\"aligncenter size-full wp-image-111658\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/prob219.png 392w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/prob219-300x158.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 392px) 100vw, 392px\" \/><\/p>\n<p>Pelo <strong>segundo Lembrete<\/strong>, a \u00e1rea de um tri\u00e2ngulo \u00e9 dada pela metade do produto entre uma base e sua respectiva altura. No caso do nosso tri\u00e2ngulo, vamos calcular a sua \u00e1rea de dois modos:<\/p>\n<ul>\n<li>utilizando os dados do problema: [tex]\\frac{25 \\times 12}{2}[\/tex],\n<\/li>\n<li>considerando como base e altura os dois catetos, j\u00e1 que o tri\u00e2ngulo \u00e9 ret\u00e2ngulo: [tex]\\frac{a \\times b}{2}[\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, se [tex]A_t[\/tex] \u00e9 a \u00e1rea do nosso tri\u00e2ngulo, ent\u00e3o:<br \/>\n[tex]\\qquad  A_t=\\dfrac{25 \\times 12}{2}=\\dfrac{a \\times b}{2}[\/tex],<br \/>\ne assim temos que:<br \/>\n[tex]\\qquad  a \\times b=300.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<br \/>\nPor outro lado, o primeiro Lembrete nos assegura que<br \/>\n[tex]\\qquad  a^2+b^2=625.\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<br \/>\nA partir das equa\u00e7\u00f5es [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], podemos resolver algebricamente o problema de duas maneiras; observe.<\/p>\n<table class=\"bf\" style=\"width:98%;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\" style=\"border-right:2px solid #800000; line-height:30px;\">\nMultiplicando a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex] por [tex]2[\/tex], temos que <\/li>\n<p>[tex]\\quad  2\\times a \\times b=600.\\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]<br \/>\nLogo, somando [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)} \\, [\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex], segue que:<br \/>\n[tex]\\quad  \\left(a^2+b^2\\right)+2\\times a \\times b=625+600[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad  a^2+2\\times a \\times b+b^2=1225[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad  \\left(a+b\\right)^2=1225[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad \\sqrt{ \\left(a+b\\right)^2}=\\sqrt{1225}=35.[\/tex]<br \/>\nComo [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros positivos, ent\u00e3o [tex]a+b=35[\/tex],<br \/>\ndonde<br \/>\n[tex]\\quad  b=35-a.\\qquad \\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex],<br \/>\nSubstituindo [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)} \\, [\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex], obtemos:<br \/>\n[tex]\\quad 35a-a^2=300[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad a^2-35a+300=0.[\/tex]<br \/>\nResolvendo essa equa\u00e7\u00e3o do segundo grau obtemos as ra\u00edzes:<br \/>\n[tex]\\quad a=\\dfrac{35\\pm\\sqrt{1225-1200}}{2}=\\dfrac{35\\pm 5}{2}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad a_1=\\dfrac{35+5}{2}=20 \\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad  a_2=\\dfrac{35-5}{2}=15 \\, [\/tex].<br \/>\nSubstituindo essas ra\u00edzes em [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)} \\, [\/tex], obtemos os respectivos valores para o comprimento do segundo cateto:<br \/>\n[tex]\\quad  b_1=35-a_1=35-20=15 \\,  \\, [\/tex] e<br \/>\n[tex]\\quad b_2=35-a_2=35-15=20 \\,  \\,  \\, .[\/tex]<br \/>\nCom isso, o tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo em quest\u00e3o tem catetos com comprimentos [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$15 \\, \\text{cm}\\text{ e } 20 \\, \\text{cm}$} \\, .[\/tex]<\/td>\n<td class=\"bf\"  style=\"line-height:30px;\">\nPodemos trabalhar diretamente com as equa\u00e7\u00f5es [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\textcolor{#800000}{(ii)} \\, .[\/tex] <\/li>\n<p>De [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex], como [tex]b\\ne 0[\/tex], segue que<br \/>\n[tex]\\quad a=\\dfrac{300}{b}.\\qquad \\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex]<br \/>\nSubstituindo [tex]\\textcolor{#800000}{(v)} \\, [\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex], obtemos a equa\u00e7\u00e3o biquadrada<br \/>\n[tex]\\quad b^4-625b^2+90000=0.\\qquad \\textcolor{#800000}{(vi)}[\/tex]<br \/>\nSe fizermos [tex]x=b^2[\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(vi)} \\, [\/tex], obtemos a seguinte equa\u00e7\u00e3o do segundo grau em [tex]x[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\quad x^2-625x+90000=0[\/tex]<br \/>\nResolvendo essa equa\u00e7\u00e3o obtemos as ra\u00edzes:<br \/>\n[tex]\\quad x=\\dfrac{625\\pm\\sqrt{390625-360000}}{2}\\\\<br \/>\n\\quad x=\\dfrac{625\\pm 175}{2}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\quad x_1=\\dfrac{625+175}{2}=400 \\;[\/tex] e [tex]\\;x_2=\\dfrac{625-175}{2}=225 \\, [\/tex].<br \/>\nMas [tex]x=b^2[\/tex], logo:<br \/>\n[tex]\\quad b_1^2=400 \\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad  b_2^2=225 \\, [\/tex].<br \/>\nComo estamos lidando com medidas, [tex] \\, b_1 \\gt 0[\/tex] e [tex] \\, b_2 \\gt 0[\/tex], e<br \/>\n[tex]\\quad b_1=20 \\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad  b_2=15 \\, .[\/tex]<br \/>\nSubstituindo esses valores em [tex]\\textcolor{#800000}{(v)} \\, [\/tex], obtemos os respectivos valores para o  comprimento do outro cateto:<br \/>\n[tex]\\quad  a_1=\\dfrac{300}{b_1}=\\dfrac{300}{20}=15\\qquad [\/tex] e<br \/>\n[tex]\\, \\\\<br \/>\n\\qquad  a_2=\\dfrac{300}{b_1}=\\dfrac{300}{15}=20.[\/tex]<br \/>\nCom isso, o tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo em quest\u00e3o tem catetos com comprimentos [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$15 \\, \\text{cm}\\text{ e } 20 \\, \\text{cm}$} \\, .[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Catetos-de-um-tri\u00e2ngulo-ret\u00e2ngulo.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Catetos de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio ) Em um dado tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, a hipotenusa mede [tex]25 \\, \\text{cm}[\/tex] e a altura relativa a ela mede [tex]12 \\, \\text{cm}\\, .[\/tex] Qual \u00e9 a medida de cada cateto desse tri\u00e2ngulo? 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