Problema \n<\/div>\n \n Sugest\u00e3o<\/p>\n \n ✐<\/strong> <\/span> Que tal, antes de resolver esse problem\u00e3o, dar uma olhadinha em um problema um pouco mais simples? \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n [tex]\\Box \\, \\, – \\, \\, \\Box \\, \\, – \\, \\, \\Box \\, \\, -\\, \\, \\Box \\, \\, – \\, \\, \\Box \\, \\, – \\, \\, \\Box[\/tex]<\/p>\n Assim, pelo Princ\u00edpio Multiplicativo, o n\u00famero de as possibilidades distintas atenderem \u00e0s condi\u00e7\u00f5es da reposi\u00e7\u00e3o \u00e9 dado por: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) (UERJ 2010 – Adaptado) Ao refazer seu calend\u00e1rio escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente quatro dos nove s\u00e1bados dispon\u00edveis nos meses de outubro e novembro, com a condi\u00e7\u00e3o de que n\u00e3o fossem utilizados dois s\u00e1bados consecutivos. Quantas s\u00e3o … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n(UERJ 2010<\/strong> – Adaptado) Ao refazer seu calend\u00e1rio escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente quatro dos nove s\u00e1bados dispon\u00edveis nos meses de outubro e novembro, com a condi\u00e7\u00e3o de que n\u00e3o fossem utilizados dois s\u00e1bados consecutivos.
\nQuantas s\u00e3o as possibilidades distintas de se atender \u00e0s condi\u00e7\u00f5es dessa reposi\u00e7\u00e3o?<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n\u00c9 s\u00f3 clicar AQUI <\/strong><\/a>.
\n ✐<\/strong> <\/span> Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra do Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/strong>, ou Princ\u00edpio Multiplicativo, talvez seja bom visitar ESTA SALA<\/strong><\/a>.<\/p>\n
\nVamos representar cada um dos nove s\u00e1bados dispon\u00edveis para reposi\u00e7\u00e3o, em sequ\u00eancia, por um elemento do conjunto
\n[tex]\\qquad \\qquad S = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}[\/tex].
\nAssim, para resolver o problema, vamos procurar subconjuntos do conjunto [tex]S[\/tex] com quatro elementos que n\u00e3o sejam n\u00fameros consecutivos, j\u00e1 que as reposi\u00e7\u00f5es n\u00e3o devem ser feitas em s\u00e1bados consecutivos.
\nPara que n\u00e3o haja a necessidade de enumerar exaustivamente todos os conjuntos com a propriedade requerida, ao definir um subconjunto de [tex]S[\/tex], iremos marcar com o sinal [tex]+[\/tex] a posi\u00e7\u00e3o dos elementos que far\u00e3o parte do subconjunto e com o sinal [tex]-[\/tex] a posi\u00e7\u00e3o dos elementos que n\u00e3o far\u00e3o parte. Assim:
\n[tex]\\qquad \\{1, 3, 6, 9\\}[\/tex] seria representado por [tex]+\\, -\\, +\\, -\\, -\\, +\\, -\\, -\\, +\\, [\/tex],
\n[tex]\\qquad \\{2, 4, 5, 7\\}[\/tex] seria representado por [tex]-\\, +\\, -\\, +\\, +\\, -\\, +\\, -\\, -\\, [\/tex] .
\n(Observe que, particularmente, o conjunto do primeiro exemplo representa uma possibilidade de escolha, mas o do segundo n\u00e3o, j\u00e1 que [tex]4[\/tex] e [tex]5[\/tex] s\u00e3o consecutivos.)
\nPara formar um subconjunto com quatro elementos, sem dois n\u00fameros consecutivos, devemos distribuir quatro sinais [tex]+[\/tex] e cinco sinais [tex]-[\/tex], sem que haja dois [tex]+[\/tex] consecutivos.
\nPara fazer isso, colocamos os cinco sinais [tex]-[\/tex] (o primeiro passo da escolha) e, em seguida, distribu\u00edmos os sinais [tex]+[\/tex] nos seis espa\u00e7os que ficaram definidos (representados abaixo pelos quadradinhos), com no m\u00e1ximo um sinal por espa\u00e7o. Perceba que isso pode ser feito de [tex]C_{6,4}[\/tex] maneiras diferentes.<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad 1 \\times C_{6,4}=\\dfrac{6!}{(6-4)!\\, 4!}=1\\times 15=15.[\/tex]
\nLogo, a resposta do problema \u00e9 [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$15$}.[\/tex]<\/p>\n
\n